📝 题目
2．求下列不定积分： （1） $\displaystyle{\int}\left(x^{2}+5 \sqrt{x}+\ln 3\right) \mathrm{d} x$ ； （2） $\displaystyle{\int} x \sqrt{x} \mathrm{~d} x$ ； （3） $\displaystyle{\int}\left(1+\frac{1}{x}\right) \mathrm{d} x$ ； （4） $\displaystyle{\int}\left(\frac{2}{x^{2}}+\frac{3}{1+x^{2}}\right) \mathrm{d} x$ ； （5） $\displaystyle{\int}\left(x^{2}+2^{x}+\frac{2}{x}\right) \mathrm{d} x$ ； （6） $\displaystyle{\int}\left(a^{\frac{2}{3}}+x^{\frac{2}{3}}\right) \mathrm{d} x$ ； （7） $\displaystyle{\int}\left(2 x^{3}-\sin x+5 \sqrt{x}\right) \mathrm{d} x$ ； （8） $\displaystyle{\int} \frac{\sqrt{x}-x+x^{2} \mathrm{e}^{x}}{x^{2}} \mathrm{~d} x$ ； （9） $\displaystyle{\int}(\sqrt{x}+1)(x-\sqrt{x}+1) \mathrm{d} x$ ； （10） $\displaystyle{\int}\left(1-\sqrt[3]{x^{2}}\right)^{2} \mathrm{~d} x$ ； （11） $\displaystyle{\int} \frac{x^{2}}{1+x^{2}} \mathrm{~d} x$ ； （12） $\displaystyle{\int} \frac{x^{2}}{1-x^{2}} \mathrm{~d} x$ ； （13） $\displaystyle{\int} \frac{1+2 x^{2}}{x^{2}\left(1+x^{2}\right)} \mathrm{d} x$ ； （14） $\displaystyle{\int} \frac{3 x^{4}+3 x^{2}+1}{x^{2}+1} \mathrm{~d} x$ ； （15） $\displaystyle{\int} \frac{1+x}{\sqrt[3]{x}} \mathrm{~d} x$ ； （16） $\displaystyle{\int} \mathrm{e}^{-x}\left[\mathrm{e}^{2 x}-\frac{\mathrm{e}^{x}(x+1)}{x^{2}}\right] \mathrm{d} x$ ； （17） $\displaystyle{\int}\left(2^{x}+3^{x}\right)^{2} \mathrm{~d} x$ ； （18） $\displaystyle{\int} \frac{2 \cdot 3^{x}-5 \cdot 2^{x}}{3^{x}} \mathrm{~d} x$ ； （19） $\displaystyle{\int}\left(1-\frac{1}{x^{2}}\right) \sqrt{x \sqrt{x}} \mathrm{~d} x$ ； （20） $\displaystyle{\int}\left(\frac{3}{1+x^{2}}-\frac{2}{\sqrt{1-x^{2}}}\right) \mathrm{d} x$ ； （21） $\displaystyle{\int} \frac{\cos 2 x}{\cos x-\sin x} \mathrm{~d} x$ ； （22） $\displaystyle{\int} \frac{1+\cos ^{2} x}{1+\cos 2 x} \mathrm{~d} x$ ； （23） $\displaystyle{\int}\left(\sin \frac{x}{2}+\cos \frac{x}{2}\right)^{2} \mathrm{~d} x$ ； （24） $\displaystyle{\int} \frac{\mathrm{d} x}{\cos ^{2} x \sin ^{2} x}$ ； （25） $\displaystyle{\int} \mathrm{e}^{x+2} \mathrm{~d} x$ ； （26） $\displaystyle{\int} 3^{2 x} \mathrm{e}^{x} \mathrm{~d} x$ ．
💡 答案与解析
[AI解答]
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以下为各题的不定积分求解过程，均使用基本积分公式与代数变形。
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**(1)** $$ \int (x^2 + 5\sqrt{x} + \ln 3) \, dx = \frac{x^3}{3} + 5 \cdot \frac{2}{3} x^{3/2} + x\ln 3 + C = \frac{x^3}{3} + \frac{10}{3} x^{3/2} + x\ln 3 + C $$
**(2)** $$ \int x\sqrt{x} \, dx = \int x^{3/2} dx = \frac{2}{5} x^{5/2} + C $$
**(3)** $$ \int \left(1 + \frac{1}{x}\right) dx = x + \ln|x| + C $$
**(4)** $$ \int \left(\frac{2}{x^2} + \frac{3}{1+x^2}\right) dx = \int 2x^{-2} dx + 3\int \frac{dx}{1+x^2} = -\frac{2}{x} + 3\arctan x + C $$
**(5)** $$ \int \left(x^2 + 2^x + \frac{2}{x}\right) dx = \frac{x^3}{3} + \frac{2^x}{\ln 2} + 2\ln|x| + C $$
**(6)** $$ \int \left(a^{2/3} + x^{2/3}\right) dx = a^{2/3}x + \frac{3}{5} x^{5/3} + C $$
**(7)** $$ \int \left(2x^3 - \sin x + 5\sqrt{x}\right) dx = \frac{1}{2}x^4 + \cos x + \frac{10}{3}x^{3/2} + C $$
**(8)** $$ \int \frac{\sqrt{x} - x + x^2 e^x}{x^2} dx = \int \left(x^{-3/2} - \frac{1}{x} + e^x\right) dx = -2x^{-1/2} - \ln|x| + e^x + C $$
**(9)** 注意到 $(\sqrt{x}+1)(x - \sqrt{x} + 1) = x^{3/2} + 1$ $$ \int (x^{3/2} + 1) dx = \frac{2}{5} x^{5/2} + x + C $$
**(10)** $$ \left(1 - x^{2/3}\right)^2 = 1 - 2x^{2/3} + x^{4/3} $$ $$ \int \left(1 - 2x^{2/3} + x^{4/3}\right) dx = x - 2\cdot\frac{3}{5}x^{5/3} + \frac{3}{7}x^{7/3} + C = x - \frac{6}{5}x^{5/3} + \frac{3}{7}x^{7/3} + C $$
**(11)** $$ \frac{x^2}{1+x^2} = 1 - \frac{1}{1+x^2} $$ $$ \int \left(1 - \frac{1}{1+x^2}\right) dx = x - \arctan x + C $$
**(12)** $$ \frac{x^2}{1-x^2} = -1 + \frac{1}{1-x^2} $$ $$ \int \left(-1 + \frac{1}{1-x^2}\right) dx = -x + \frac{1}{2}\ln\left|\frac{1+x}{1-x}\right| + C $$
**(13)** $$ \frac{1+2x^2}{x^2(1+x^2)} = \frac{1}{x^2} + \frac{1}{1+x^2} $$ $$ \int \left(\frac{1}{x^2} + \frac{1}{1+x^2}\right) dx = -\frac{1}{x} + \arctan x + C $$
**(14)** $$ \frac{3x^4+3x^2+1}{x^2+1} = 3x^2 + \frac{1}{x^2+1} $$ $$ \int \left(3x^2 + \frac{1}{1+x^2}\right) dx = x^3 + \arctan x + C $$
**(15)** $$ \frac{1+x}{\sqrt[3]{x}} = x^{-1/3} + x^{2/3} $$ $$ \int \left(x^{-1/3} + x^{2/3}\right) dx = \frac{3}{2}x^{2/3} + \frac{3}{5}x^{5/3} + C $$
**(16)** 化简被积函数： $$ e^{-x}\left[e^{2x} - \frac{e^x(x+1)}{x^2}\right] = e^x - \frac{x+1}{x^2} $$ $$ \int \left(e^x - \frac{1}{x} - \frac{1}{x^2}\right) dx = e^x - \ln|x| + \frac{1}{x} + C $$
**(17)** $$ (2^x + 3^x)^2 = 4^x + 9^x + 2\cdot 6^x $$ $$ \int (4^x + 9^x + 2\cdot 6^x) dx = \frac{4^x}{\ln 4} + \frac{9^x}{\ln 9} + \frac{2\cdot 6^x}{\ln 6} + C $$
**(18)** $$ \frac{2\cdot 3^x - 5\cdot 2^x}{3^x} = 2 - 5\left(\frac{2}{3}\right)^x $$ $$ \int \left[2 - 5\left(\frac{2}{3}\right)^x\right] dx = 2x - \frac{5\left(\frac{2}{3}\right)^x}{\ln(2/3)} + C $$
**(19)** $$ \sqrt{x\sqrt{x}} = x^{3/4} $$ $$ \left(1 - \frac{1}{x^2}\right)x^{3/4} = x^{3/4} - x^{-5/4} $$ $$ \int \left(x^{3/4} - x^{-5/4}\right) dx = \frac{4}{7}x^{7/4} + 4x^{-1/4} + C $$
**(20)** $$ \int \left(\frac{3}{1+x^2} - \frac{2}{\sqrt{1-x^2}}\right) dx = 3\arctan x - 2\arcsin x + C $$
**(21)** $$ \frac{\cos 2x}{\cos x - \sin x} = \frac{\cos^2 x - \sin^2 x}{\cos x - \sin x} = \cos x + \sin x $$ $$ \int (\cos x + \sin x) dx = \sin x - \cos x + C $$
**(22)** $$ \frac{1+\cos^2 x}{1+\cos 2x} = \frac{1+\cos^2 x}{2\cos^2 x} = \frac{1}{2\cos^2 x} + \frac{1}{2} $$ $$ \int \left(\frac{1}{2}\sec^2 x + \frac12\right) dx = \frac12 \tan x + \frac{x}{2} + C $$
**(23)** $$ \left(\sin\frac{x}{2} + \cos\frac{x}{2}\right)^2 = 1 + \sin x $$ $$ \int (1 + \sin x) dx = x - \cos x + C $$
**(24)** $$ \frac{1}{\cos^2 x \sin^2 x} = \frac{1}{\sin^2 x} \cdot \frac{1}{\cos^2 x} = \csc^2 x \sec^2 x $$ 或利用 $\sin 2x = 2\sin x\cos x$： $$ \frac{1}{\cos^2 x \sin^2 x} = \frac{4}{\sin^2 2x} = 4\csc^2 2x $$ $$ \int 4\csc^2 2x \, dx = -2\cot 2x + C $$
**(25)** $$ \int e^{x+2} dx = e^2 \int e^x dx = e^{x+2} + C $$
**(26)** $$ 3^{2x} e^x = (9e)^x