📝 题目
3．已知平面曲线 $y=f(x)$ 上任意一点 $M(x, y)$ 处的切线斜率为 $k=4 x^{3}-1$ ，且曲线经过点 $P(1,3)$ ，求该曲线方程．
💡 答案与解析
[AI解答]
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已知曲线上任意一点 $M(x, y)$ 处的切线斜率为 $$ k = \frac{dy}{dx} = 4x^3 - 1 $$ 因此，曲线方程可由不定积分求得： $$ y = \int (4x^3 - 1) \, dx $$
计算不定积分： $$ y = \int 4x^3 \, dx - \int 1 \, dx $$ $$ y = 4 \cdot \frac{x^{4}}{4} - x + C $$ $$ y = x^{4} - x + C $$
又因为曲线经过点 $P(1, 3)$，代入 $x = 1, y = 3$ 得： $$ 3 = 1^{4} - 1 + C $$ $$ 3 = 0 + C \quad \Rightarrow \quad C = 3 $$
故所求曲线方程为： $$ \boxed{y = x^{4} - x + 3} $$
难度：★☆☆☆☆