📝 题目
4．一曲线上任意一点 $(x, y)$ 处的切线斜率为 $\frac{1}{x}-\frac{1}{x^{2}}$ ，且 $x=1$ 时，$y=0$ ，求曲线 $y=f(x)$的方程．
💡 答案与解析
[AI解答]
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已知曲线上任意一点 $(x, y)$ 处的切线斜率为： $$ \frac{dy}{dx} = \frac{1}{x} - \frac{1}{x^{2}}. $$ 因此，函数 $y = f(x)$ 可通过不定积分求得： $$ y = \int \left( \frac{1}{x} - \frac{1}{x^{2}} \right) dx. $$
分别积分： $$ \int \frac{1}{x} \, dx = \ln|x| + C_1, \quad \int \frac{1}{x^{2}} \, dx = \int x^{-2} \, dx = -x^{-1} + C_2. $$ 故： $$ y = \ln|x| - \left( -x^{-1} \right) + C = \ln|x| + \frac{1}{x} + C, $$ 其中 $C$ 为积分常数。
利用已知条件：当 $x = 1$ 时，$y = 0$，代入得： $$ 0 = \ln 1 + \frac{1}{1} + C = 0 + 1 + C, $$ 所以： $$ C = -1. $$
因此所求曲线方程为： $$ \boxed{y = \ln|x| + \frac{1}{x} - 1}. $$
难度：★☆☆☆☆