📝 题目
5．一曲线通过 $\left(\mathrm{e}^{2}, 3\right)$ ，且在任意一点处的切线的斜率等于该点横坐标的倒数，求该曲线的方程．
💡 答案与解析
[AI解答]
[AI解答] 设曲线方程为 $ y = f(x) $，由题意，在任意一点 $(x, y)$ 处的切线斜率为 $$ \frac{dy}{dx} = \frac{1}{x}. $$ 这是一个可分离变量的一阶微分方程，直接积分得 $$ y = \int \frac{1}{x} \, dx = \ln |x| + C. $$ 由于曲线经过点 $(e^2, 3)$，代入得 $$ 3 = \ln(e^2) + C = 2 + C, $$ 所以 $$ C = 1. $$ 因此曲线方程为 $$ y = \ln |x| + 1. $$ 又因为横坐标 $x$ 出现在分母中，且经过点横坐标为正数 $e^2$，故通常取 $x > 0$，去掉绝对值符号，得 $$ \boxed{y = \ln x + 1}. $$
难度：★☆☆☆☆