📝 题目
6．已知 $f^{\prime}(x)=1+x^{2}$ ，且 $f(0)=1$ ，求 $f(x)$ ．
💡 答案与解析
[AI解答]
[AI解答] 已知 $ f'(x) = 1 + x^2 $，且 $ f(0) = 1 $。 要求 $ f(x) $，只需对导数进行积分：
$$ f(x) = \int f'(x) \, dx = \int (1 + x^2) \, dx $$
计算不定积分：
$$ \int (1 + x^2) \, dx = \int 1 \, dx + \int x^2 \, dx = x + \frac{x^3}{3} + C $$
其中 $ C $ 为积分常数。 利用初始条件 $ f(0) = 1 $ 确定 $ C $：
$$ f(0) = 0 + \frac{0^3}{3} + C = C = 1 $$
因此：
$$ f(x) = x + \frac{x^3}{3} + 1 $$
难度：★☆☆☆☆