📝 题目
2．用换元法求下列不定积分： （1） $\displaystyle{\int} \sin 3 x \mathrm{~d} x$ ； （3） $\displaystyle{\int} \mathrm{e}^{2-3 x} \mathrm{~d} x$ ； （5） $\displaystyle{\int} \sqrt{1-2 x} \mathrm{~d} x$ ； （7） $\displaystyle{\int}(1-3 x)^{9} \mathrm{~d} x$ ； （9） $\displaystyle{\int} x \mathrm{e}^{x^{2}} \mathrm{~d} x$ ； （11） $\displaystyle{\int} \frac{x}{3-2 x^{2}} \mathrm{~d} x$ ； （13） $\displaystyle{\int} \frac{\ln x}{x} \mathrm{~d} x$ ； （15） $\displaystyle{\int} \frac{\sin (\ln x)}{x} \mathrm{~d} x$ ； （17） $\displaystyle{\int} \mathrm{e}^{\sin x} \cos x \mathrm{~d} x$ ； （19） $\displaystyle{\int} \sin ^{3} x \mathrm{~d} x$ ； （21） $\displaystyle{\int} \frac{1}{4+9 x^{2}} \mathrm{~d} x$ ； （23） $\displaystyle{\int} \frac{\arctan x}{1+x^{2}} \mathrm{~d} x$ ； （25） $\displaystyle{\int} \frac{1}{1+x^{2}} \mathrm{e}^{\arctan x} \mathrm{~d} x$ ； （27） $\displaystyle{\int} \frac{1}{x^{2}+2 x+2} \mathrm{~d} x$ ； （29） $\displaystyle{\int} \frac{1}{x^{2}+3 x+4} \mathrm{~d} x$ ； （31） $\displaystyle{\int} \frac{6 x}{2+3 x} \mathrm{~d} x$ ； （33） $\displaystyle{\int} \mathrm{e}^{x} \operatorname{sine}^{x} \mathrm{~d} x$ ； （35） $\displaystyle{\int} \frac{\mathrm{e}^{2 x}}{1+\mathrm{e}^{2 x}} \mathrm{~d} x$ ； （10）$\frac{\mathrm{d} x}{x}=$ $\_\_\_\_$ d $(3 \ln |x|) ;$ （12）$\frac{\mathrm{d} x}{1+9 x^{2}}=$ $\_\_\_\_$ $\mathrm{d}(\arctan 3 x)$. （2） $\displaystyle{\int} \cos 5 x \mathrm{~d} x$ ； （4） $\displaystyle{\int} \frac{1}{1+x} \mathrm{~d} x$ ； （6） $\displaystyle{\int} \frac{1}{\sqrt{2-3 x}} \mathrm{~d} x$ ； （8） $\displaystyle{\int} \frac{1}{(1-x)^{2}} \mathrm{~d} x$ ； （10） $\displaystyle{\int} x^{2} \sin x^{3} \mathrm{~d} x$ ； （12） $\displaystyle{\int} \frac{x}{\sqrt{1-x^{2}}} \mathrm{~d} x$ ； （14） $\displaystyle{\int} \frac{1}{x \ln x} \mathrm{~d} x$ ； （16） $\displaystyle{\int} \frac{\cos (\ln x)}{x} \mathrm{~d} x$ ； （18） $\displaystyle{\int} \frac{\mathrm{e}^{\frac{1}{x}}}{x^{2}} \mathrm{~d} x$ ； （20） $\displaystyle{\int} \cos ^{4} x \mathrm{~d} x$ ； （22） $\displaystyle{\int} \frac{1}{5-x} \mathrm{~d} x$ ； （24） $\displaystyle{\int} \frac{\arcsin x}{\sqrt{1-x^{2}}} \mathrm{~d} x$ ； （26） $\displaystyle{\int} \frac{1}{\sqrt{1-x^{2}} \arcsin x} \mathrm{~d} x$ ； （28） $\displaystyle{\int} \frac{1}{x^{2}-x+1} \mathrm{~d} x$ ； （30） $\displaystyle{\int} \frac{1}{x^{2}+2 x+4} \mathrm{~d} x$ ； （32） $\displaystyle{\int} \frac{x^{2}}{x+1} \mathrm{~d} x$ ； （34） $\displaystyle{\int} \mathrm{e}^{x} \sqrt{1+\mathrm{e}^{x}} \mathrm{~d} x$ ； （36） $\displaystyle{\int} \frac{\mathrm{e}^{x}}{1+\mathrm{e}^{2 x}} \mathrm{~d} x$ ； （37） $\displaystyle{\int} \frac{1}{\sqrt{x}(1+\sqrt{x})} \mathrm{d} x$ ； （38） $\displaystyle{\int} \frac{1}{\sqrt{x}(1+x)} \mathrm{d} x$ ； （39） $\displaystyle{\int} \frac{1}{\sqrt{16-9 x^{2}}} \mathrm{~d} x$ ； （40） $\displaystyle{\int} \frac{x+1}{\sqrt{1-x^{2}}} \mathrm{~d} x$ ； （41） $\displaystyle{\int} \frac{1}{x^{2}} \cos \frac{1}{x} \mathrm{~d} x$ ； （42） $\displaystyle{\int} \frac{\mathrm{e}^{\frac{1}{x}}}{x^{2}} \mathrm{~d} x$ ； （43） $\displaystyle{\int} \sin 3 x \sin 5 x \mathrm{~d} x$ ； （44） $\displaystyle{\int} \sin 3 x \cos 4 x \mathrm{~d} x$ ； （45） $\displaystyle{\int} x(5 x-1)^{15} \mathrm{~d} x$ ； （46） $\displaystyle{\int} \frac{x}{(3-x)^{7}} \mathrm{~d} x$ ； （47） $\displaystyle{\int} x \sqrt{x-3} \mathrm{~d} x$ ； （48） $\displaystyle{\int} \frac{\sqrt{x}}{1+x} \mathrm{~d} x$ ； （49） $\displaystyle{\int} \frac{x^{2}}{\sqrt[3]{2-x}} \mathrm{~d} x$ ； （50） $\displaystyle{\int} \frac{1}{1-\sqrt{2 x+1}} \mathrm{~d} x$ ； （51） $\displaystyle{\int} \frac{\sqrt{1-x^{2}}}{x^{2}} \mathrm{~d} x$ ； （52） $\displaystyle{\int} \frac{\sqrt{1-x^{2}}}{x} \mathrm{~d} x$ ； （53） $\displaystyle{\int} \frac{\sqrt{x^{2}-1}}{x} \mathrm{~d} x$ ； （54） $\displaystyle{\int} \frac{1}{x^{2} \sqrt{1+x^{2}}} \mathrm{~d} x$ ．
💡 答案与解析
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以下是用换元法求解各不定积分的详细步骤。
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### （1）$\displaystyle{\int} \sin 3x \, \mathrm{d}x$
令 $u = 3x$，则 $\mathrm{d}u = 3\mathrm{d}x$，$\mathrm{d}x = \frac{1}{3}\mathrm{d}u$ $$ \int \sin 3x \, \mathrm{d}x = \frac{1}{3} \int \sin u \, \mathrm{d}u = -\frac{1}{3} \cos u + C = -\frac{1}{3} \cos 3x + C $$
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### （3）$\displaystyle{\int} \mathrm{e}^{2-3x} \, \mathrm{d}x$
令 $u = 2-3x$，$\mathrm{d}u = -3\mathrm{d}x$，$\mathrm{d}x = -\frac{1}{3}\mathrm{d}u$ $$ \int \mathrm{e}^{2-3x} \, \mathrm{d}x = -\frac{1}{3} \int \mathrm{e}^{u} \, \mathrm{d}u = -\frac{1}{3} \mathrm{e}^{u} + C = -\frac{1}{3} \mathrm{e}^{2-3x} + C $$
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### （5）$\displaystyle{\int} \sqrt{1-2x} \, \mathrm{d}x$
令 $u = 1-2x$，$\mathrm{d}u = -2\mathrm{d}x$，$\mathrm{d}x = -\frac{1}{2}\mathrm{d}u$ $$ \int \sqrt{1-2x} \, \mathrm{d}x = -\frac{1}{2} \int u^{1/2} \, \mathrm{d}u = -\frac{1}{2} \cdot \frac{2}{3} u^{3/2} + C = -\frac{1}{3} (1-2x)^{3/2} + C $$
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### （7）$\displaystyle{\int} (1-3x)^9 \, \mathrm{d}x$
令 $u = 1-3x$，$\mathrm{d}u = -3\mathrm{d}x$，$\mathrm{d}x = -\frac{1}{3}\mathrm{d}u$ $$ \int (1-3x)^9 \, \mathrm{d}x = -\frac{1}{3} \int u^9 \, \mathrm{d}u = -\frac{1}{3} \cdot \frac{u^{10}}{10} + C = -\frac{1}{30} (1-3x)^{10} + C $$
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### （9）$\displaystyle{\int} x \mathrm{e}^{x^2} \, \mathrm{d}x$
令 $u = x^2$，$\mathrm{d}u = 2x\mathrm{d}x$，$x\mathrm{d}x = \frac{1}{2}\mathrm{d}u$ $$ \int x \mathrm{e}^{x^2} \, \mathrm{d}x = \frac{1}{2} \int \mathrm{e}^{u} \, \mathrm{d}u = \frac{1}{2} \mathrm{e}^{x^2} + C $$
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### （11）$\displaystyle{\int} \frac{x}{3-2x^2} \, \mathrm{d}x$
令 $u = 3-2x^2$，$\mathrm{d}u = -4x\mathrm{d}x$，$x\mathrm{d}x = -\frac{1}{4}\mathrm{d}u$ $$ \int \frac{x}{3-2x^2} \, \mathrm{d}x = -\frac{1}{4} \int \frac{1}{u} \, \mathrm{d}u = -\frac{1}{4} \ln|u| + C = -\frac{1}{4} \ln|3-2x^2| + C $$
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### （13）$\displaystyle{\int} \frac{\ln x}{x} \, \mathrm{d}x$
令 $u = \ln x$，$\mathrm{d}u = \frac{1}{x}\mathrm{d}x$ $$ \int \frac{\ln x}{x} \, \mathrm{d}x = \int u \, \mathrm{d}u = \frac{u^2}{2} + C = \frac{(\ln x)^2}{2} + C $$
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### （15）$\displaystyle{\int} \frac{\sin(\ln x)}{x} \, \mathrm{d}x$
令 $u = \ln x$，$\mathrm{d}u = \frac{1}{x}\mathrm{d}x$ $$ \int \frac{\sin(\ln x)}{x} \, \mathrm{d}x = \int \sin u \, \mathrm{d}u = -\cos u + C = -\cos(\ln x) + C $$
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### （17）$\displaystyle{\int} \mathrm{e}^{\sin x} \cos x \, \mathrm{d}x$
令 $u = \sin x$，$\mathrm{d}u = \cos x \, \mathrm{d}x$ $$ \int \mathrm{e}^{\sin x} \cos x \, \mathrm{d}x = \int \mathrm{e}^{u} \, \mathrm{d}u = \mathrm{e}^{\sin x} + C $$
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### （19）$\displaystyle{\int} \sin^3 x \, \mathrm{d}x$
改写：$\sin^3 x = \sin x (1-\cos^2 x)$ 令 $u = \cos x$，$\mathrm{d}u = -\sin x \, \mathrm{d}x$ $$ \int \sin^3 x \, \mathrm{d}x = \int (1-\cos^2 x) \sin x \, \mathrm{d}x = -\int (1-u^2) \, \mathrm{d}u = -\left(u - \frac{u^3}{3}\right) + C = -\cos x + \frac{\cos^3 x}{3} + C $$
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### （21）$\displaystyle{\int} \frac{1}{4+9x^2} \, \mathrm{d}x$
$$ \int \frac{1}{4+9x^2} \, \mathrm{d}x = \frac{1}{4} \int \frac{1}{1+\left(\frac{3x}{2}\right)^2} \, \mathrm{d}x $$ 令 $u = \frac{3x}{2}$，$\mathrm{d}u = \frac{3}{2}\mathrm{d}x$，$\mathrm{d}x = \frac{2}{3}\mathrm{d}u$ $$ = \frac{1}{4} \cdot \frac{2}{3} \int \frac{1}{1+u^2} \, \mathrm{d}u = \frac{1}{6} \arctan u + C = \frac{1}{6} \arctan\left(\frac{3x}{2}\right) + C $$
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### （23）$\displaystyle{\int} \frac{\arctan x}{1+x^2} \, \mathrm{d}x$
令 $u = \arctan x$，$\mathrm{d}u = \frac{1}{1+x^2}\mathrm{d}x$ $$ \int \frac{\arctan x}{1+x^2} \, \mathrm{d}x = \int u \, \mathrm{d}u = \frac{u^2}{2} + C = \frac{(\arctan x)^2}{2} + C $$
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### （25）$\displaystyle{\int} \frac{1}{1+x^2} \mathrm{e}^{\arctan x} \, \mathrm{d}x$
令 $u = \arctan x$，$\mathrm{d}u = \frac{1}{1+x^2}\mathrm{d}x$ $$ \int \frac{\mathrm{e}^{\arctan x}}{1+x^2} \, \mathrm{d}x = \int \mathrm{e}^{u} \, \mathrm{d}u = \mathrm{e}^{\arctan x} + C $$
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### （27）$\displaystyle{\int} \frac{1}{x^2+2x+2} \, \mathrm{d}x$
配方：$x^2+2x+2 = (x+1)^2+1$ 令 $u = x+1$，$\mathrm{d}u = \mathrm{d}x$ $$ \int \frac{1}{(x+1)^2+1} \, \mathrm{d}x = \int \frac{1}{u^2+1} \, \mathrm{d}u = \arctan u + C = \arctan(x+1) + C $$
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### （29）$\displaystyle{\int} \frac{1}{x^2+3x+4} \, \mathrm{d}x$
配方：$x^2+3x+4 = \left(x+\frac{3}{2}\right)^2 + \frac{7}{4}$ 令 $u = x+\frac{3}{2}$，$\mathrm{d}u = \mathrm{d}x$ $$ \int \frac{1}{\left(x+\frac{3}{2}\right)^2 + \frac{7}{4}} \, \mathrm{d}x = \int \frac{1}{u^2 + \frac{7}{4}} \, \mathrm{d}u = \frac{2}{\sqrt{7}} \arctan\left(\frac{2u}{\sqrt{7}}\right) +