📝 题目
4．用分部积分法求下列不定积分： （1） $\displaystyle{\int} x \ln x \mathrm{~d} x$ ； （2） $\displaystyle{\int} \frac{\ln x}{x^{2}} \mathrm{~d} x$ ； （3） $\displaystyle{\int} x \mathrm{e}^{-x} \mathrm{~d} x$ ； （4） $\displaystyle{\int} x^{2} \mathrm{e}^{2 x} \mathrm{~d} x$ ； （5） $\displaystyle{\int} x \sin x \mathrm{~d} x$ ； （6） $\displaystyle{\int} x \sin 2 x \mathrm{~d} x$ ； （7） $\displaystyle{\int} x^{2} \cos x \mathrm{~d} x$ ； （8） $\displaystyle{\int} x \cos 3 x \mathrm{~d} x$ ； （9） $\displaystyle{\int} \frac{x}{\cos ^{2} x} \mathrm{~d} x$ ； （10） $\displaystyle{\int}(x-1) 5^{x} \mathrm{~d} x$ ； （11） $\displaystyle{\int} \arcsin x \mathrm{~d} x$ ； （12） $\displaystyle{\int} \arctan \sqrt{x} \mathrm{~d} x$ ； （13） $\displaystyle{\int} \frac{\arcsin \sqrt{x}}{\sqrt{x}} \mathrm{~d} x$ ； （14） $\displaystyle{\int}(\arcsin x)^{2} \mathrm{~d} x$ ； （15） $\displaystyle{\int} \mathrm{e}^{-x} \sin x \mathrm{~d} x$ ； （16） $\displaystyle{\int} \ln \left(x+\sqrt{1+x^{2}}\right) \mathrm{d} x$ ； （17） $\displaystyle{\int} \frac{\arcsin \sqrt{x}}{\sqrt{1-x}} \mathrm{~d} x$ ； （18） $\displaystyle{\int} \frac{x \arctan x}{\sqrt{1+x^{2}}} \mathrm{~d} x$ ； （19） $\displaystyle{\int} x \sin ^{2} x \mathrm{~d} x$ ； （20） $\displaystyle{\int} \mathrm{e}^{-x} \sin 2 x \mathrm{~d} x$ ； （21） $\displaystyle{\int} \ln (1+\sqrt[3]{x}) \mathrm{d} x$ ； （22） $\displaystyle{\int} \sin (\ln x) \mathrm{d} x$ ．
💡 答案与解析
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以下是习题3-2第4题各小题的详细解答，均使用分部积分法。
分部积分公式： $$ \int u \, dv = uv - \int v \, du $$
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### (1) $\displaystyle{\int} x \ln x \, dx$
令 $u = \ln x$，$dv = x \, dx$，则 $du = \frac{1}{x} dx$，$v = \frac{x^2}{2}$ $$ \int x \ln x \, dx = \frac{x^2}{2} \ln x - \int \frac{x^2}{2} \cdot \frac{1}{x} dx = \frac{x^2}{2} \ln x - \frac{1}{2} \int x \, dx = \frac{x^2}{2} \ln x - \frac{x^2}{4} + C $$
**难度：★☆☆☆☆**
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### (2) $\displaystyle{\int} \frac{\ln x}{x^2} \, dx$
令 $u = \ln x$，$dv = x^{-2} dx$，则 $du = \frac{1}{x} dx$，$v = -x^{-1}$ $$ \int \frac{\ln x}{x^2} dx = -\frac{\ln x}{x} - \int \left(-\frac{1}{x}\right) \cdot \frac{1}{x} dx = -\frac{\ln x}{x} + \int \frac{1}{x^2} dx = -\frac{\ln x}{x} - \frac{1}{x} + C $$
**难度：★☆☆☆☆**
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### (3) $\displaystyle{\int} x e^{-x} \, dx$
令 $u = x$，$dv = e^{-x} dx$，则 $du = dx$，$v = -e^{-x}$ $$ \int x e^{-x} dx = -x e^{-x} + \int e^{-x} dx = -x e^{-x} - e^{-x} + C $$
**难度：★☆☆☆☆**
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### (4) $\displaystyle{\int} x^2 e^{2x} \, dx$
令 $u = x^2$，$dv = e^{2x} dx$，则 $du = 2x dx$，$v = \frac{1}{2} e^{2x}$ $$ \int x^2 e^{2x} dx = \frac{x^2}{2} e^{2x} - \int x e^{2x} dx $$ 再对 $\int x e^{2x} dx$ 分部：令 $u = x$，$dv = e^{2x} dx$，则 $du = dx$，$v = \frac{1}{2} e^{2x}$ $$ \int x e^{2x} dx = \frac{x}{2} e^{2x} - \frac{1}{2} \int e^{2x} dx = \frac{x}{2} e^{2x} - \frac{1}{4} e^{2x} $$ 代回： $$ \int x^2 e^{2x} dx = \frac{x^2}{2} e^{2x} - \frac{x}{2} e^{2x} + \frac{1}{4} e^{2x} + C $$
**难度：★★☆☆☆**
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### (5) $\displaystyle{\int} x \sin x \, dx$
令 $u = x$，$dv = \sin x \, dx$，则 $du = dx$，$v = -\cos x$ $$ \int x \sin x \, dx = -x \cos x + \int \cos x \, dx = -x \cos x + \sin x + C $$
**难度：★☆☆☆☆**
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### (6) $\displaystyle{\int} x \sin 2x \, dx$
令 $u = x$，$dv = \sin 2x \, dx$，则 $du = dx$，$v = -\frac{1}{2} \cos 2x$ $$ \int x \sin 2x \, dx = -\frac{x}{2} \cos 2x + \frac{1}{2} \int \cos 2x \, dx = -\frac{x}{2} \cos 2x + \frac{1}{4} \sin 2x + C $$
**难度：★☆☆☆☆**
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### (7) $\displaystyle{\int} x^2 \cos x \, dx$
令 $u = x^2$，$dv = \cos x \, dx$，则 $du = 2x dx$，$v = \sin x$ $$ \int x^2 \cos x \, dx = x^2 \sin x - 2 \int x \sin x \, dx $$ 由(5)知 $\int x \sin x \, dx = -x \cos x + \sin x$，所以 $$ = x^2 \sin x - 2(-x \cos x + \sin x) + C = x^2 \sin x + 2x \cos x - 2 \sin x + C $$
**难度：★★☆☆☆**
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### (8) $\displaystyle{\int} x \cos 3x \, dx$
令 $u = x$，$dv = \cos 3x \, dx$，则 $du = dx$，$v = \frac{1}{3} \sin 3x$ $$ \int x \cos 3x \, dx = \frac{x}{3} \sin 3x - \frac{1}{3} \int \sin 3x \, dx = \frac{x}{3} \sin 3x + \frac{1}{9} \cos 3x + C $$
**难度：★☆☆☆☆**
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### (9) $\displaystyle{\int} \frac{x}{\cos^2 x} \, dx$
注意 $\frac{1}{\cos^2 x} = \sec^2 x$，令 $u = x$，$dv = \sec^2 x \, dx$，则 $du = dx$，$v = \tan x$ $$ \int x \sec^2 x \, dx = x \tan x - \int \tan x \, dx = x \tan x + \ln|\cos x| + C $$
**难度：★★☆☆☆**
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### (10) $\displaystyle{\int} (x-1) 5^x \, dx$
令 $u = x-1$，$dv = 5^x dx$，则 $du = dx$，$v = \frac{5^x}{\ln 5}$ $$ \int (x-1)5^x dx = \frac{(x-1)5^x}{\ln 5} - \int \frac{5^x}{\ln 5} dx = \frac{(x-1)5^x}{\ln 5} - \frac{5^x}{(\ln 5)^2} + C $$
**难度：★★☆☆☆**
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### (11) $\displaystyle{\int} \arcsin x \, dx$
令 $u = \arcsin x$，$dv = dx$，则 $du = \frac{1}{\sqrt{1-x^2}} dx$，$v = x$ $$ \int \arcsin x \, dx = x \arcsin x - \int \frac{x}{\sqrt{1-x^2}} dx $$ 令 $t = 1-x^2$，$dt = -2x dx$，则 $$ \int \frac{x}{\sqrt{1-x^2}} dx = -\sqrt{1-x^2} $$ 所以 $$ \int \arcsin x \, dx = x \arcsin x + \sqrt{1-x^2} + C $$
**难度：★★☆☆☆**
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### (12) $\displaystyle{\int} \arctan \sqrt{x} \, dx$
令 $t = \sqrt{x}$，则 $x = t^2$，$dx = 2t dt$ $$ \int \arctan \sqrt{x} \, dx = \int \arctan t \cdot 2t \, dt $$ 对 $\int t \arctan t \, dt$ 分部：令 $u = \arctan t$，$dv = t dt$，则 $du = \frac{1}{1+t^2} dt$，$v = \frac{t^2}{2}$ $$ \int t \arctan t \, dt = \frac{t^2}{2} \arctan t - \frac{1}{2} \int \frac{t^2}{1+t^2} dt = \frac{t^2}{2} \arctan t - \frac{1}{2} \int \left(1 - \frac{1}{1+t^2}\right) dt $$ $$ = \frac{t^2}{2} \arctan t - \frac{1