📝 题目
5．已知 $f(x)$ 的一个原函数是 $\mathrm{e}^{-x^{2}}$ ，求 $\displaystyle{\int} x f^{\prime}(x) \mathrm{d} x$ ．
💡 答案与解析
[AI解答]
[AI解答] 已知 $ f(x) $ 的一个原函数是 $ e^{-x^2} $，即 $$ \int f(x) \, dx = e^{-x^2} + C, $$ 所以 $$ f(x) = \frac{d}{dx}\left( e^{-x^2} \right) = -2x e^{-x^2}. $$
我们需要计算 $$ \int x f'(x) \, dx. $$
先求 $ f'(x) $： $$ f'(x) = \frac{d}{dx}\left( -2x e^{-x^2} \right) = -2 e^{-x^2} + (-2x)(-2x e^{-x^2}) = -2 e^{-x^2} + 4x^2 e^{-x^2}. $$
于是 $$ x f'(x) = x\left( -2 e^{-x^2} + 4x^2 e^{-x^2} \right) = -2x e^{-x^2} + 4x^3 e^{-x^2}. $$
因此 $$ \int x f'(x) \, dx = \int \left( -2x e^{-x^2} + 4x^3 e^{-x^2} \right) dx. $$
分别积分： 第一项： $$ \int -2x e^{-x^2} dx = e^{-x^2} + C_1, $$ 因为 $ \frac{d}{dx}(e^{-x^2}) = -2x e^{-x^2} $。
第二项： 令 $ u = x^2 $，则 $ du = 2x dx $，于是 $$ \int 4x^3 e^{-x^2} dx = \int 2x^2 \cdot 2x e^{-x^2} dx = \int 2u e^{-u} du. $$ 用分部积分： $$ \int 2u e^{-u} du = -2u e^{-u} - 2 e^{-u} + C_2 = -2x^2 e^{-x^2} - 2 e^{-x^2} + C_2. $$
合并两项： $$ \int x f'(x) dx = e^{-x^2} - 2x^2 e^{-x^2} - 2 e^{-x^2} + C = -2x^2 e^{-x^2} - e^{-x^2} + C. $$
因此结果为 $$ \boxed{-e^{-x^2}(2x^2 + 1) + C}. $$
难度：★★☆☆☆