📝 题目
6．利用分部积分法计算 $\displaystyle{\int} \frac{x^{2} \mathrm{e}^{x}}{(x+2)^{2}} \mathrm{~d} x$ ．
💡 答案与解析
[AI解答]
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我们要求计算不定积分： $$ \int \frac{x^{2} e^{x}}{(x+2)^{2}} \, dx $$
**第一步：观察结构，考虑分部积分** 被积函数是 $\frac{x^{2} e^{x}}{(x+2)^{2}}$，可以写成： $$ x^{2} e^{x} \cdot \frac{1}{(x+2)^{2}} $$ 注意到 $\frac{d}{dx}\left( -\frac{1}{x+2} \right) = \frac{1}{(x+2)^{2}}$，因此令： $$ u = x^{2} e^{x}, \quad dv = \frac{1}{(x+2)^{2}} dx $$ 则： $$ du = (2x e^{x} + x^{2} e^{x}) dx = x e^{x}(x+2) dx $$ $$ v = -\frac{1}{x+2} $$
**第二步：应用分部积分公式** 分部积分公式 $\int u\, dv = uv - \int v\, du$ 给出： $$ \int \frac{x^{2} e^{x}}{(x+2)^{2}} dx = -\frac{x^{2} e^{x}}{x+2} - \int \left( -\frac{1}{x+2} \right) \cdot x e^{x}(x+2) dx $$ 化简第二项： $$ = -\frac{x^{2} e^{x}}{x+2} + \int x e^{x} \, dx $$
**第三步：计算剩余积分** $\int x e^{x} dx$ 再次使用分部积分，令 $u = x, dv = e^{x} dx$，则 $du = dx, v = e^{x}$： $$ \int x e^{x} dx = x e^{x} - \int e^{x} dx = x e^{x} - e^{x} + C $$
**第四步：合并结果** 因此原积分为： $$ \int \frac{x^{2} e^{x}}{(x+2)^{2}} dx = -\frac{x^{2} e^{x}}{x+2} + x e^{x} - e^{x} + C $$ 可以整理为： $$ = e^{x} \left( x - 1 - \frac{x^{2}}{x+2} \right) + C $$ 或者通分： $$ = e^{x} \cdot \frac{(x-1)(x+2) - x^{2}}{x+2} + C = e^{x} \cdot \frac{x^{2} + x - 2 - x^{2}}{x+2} + C = e^{x} \cdot \frac{x - 2}{x+2} + C $$
**最终答案：** $$ \boxed{\displaystyle \frac{x-2}{x+2} e^{x} + C} $$
难度评级：★★☆☆☆ （主要考察分部积分法的灵活运用，以及对分母导数的观察，计算量不大，但需要一定的技巧。）