📝 题目
1．求下列有理函数的积分． （1） $\displaystyle{\int} \frac{1}{x(x-3)} \mathrm{d} x$ ； （2） $\displaystyle{\int} \frac{1}{x^{2}-4} \mathrm{~d} x$ ； （3） $\displaystyle{\int} \frac{2 x+1}{x^{2}+2 x-15} \mathrm{~d} x$ ； （4） $\displaystyle{\int} \frac{1}{4 x^{2}+4 x+10} \mathrm{~d} x$ ； （5） $\displaystyle{\int} \frac{x-2}{x^{2}+2 x+3} \mathrm{~d} x$ ； （6） $\displaystyle{\int} \frac{1}{x\left(x^{2}+1\right)} \mathrm{d} x$ ； （7） $\displaystyle{\int} \frac{x}{x^{3}-1} \mathrm{~d} x$ ； （8） $\displaystyle{\int} \frac{1}{x^{4}-1} \mathrm{~d} x$ ； （9） $\displaystyle{\int} \frac{2 x-5}{(x-1)^{2}(x+2)} \mathrm{d} x$ ； （10） $\displaystyle{\int} \frac{x^{3}+2 x^{2}+12 x+11}{x^{2}+2 x+10} \mathrm{~d} x$ ； （11） $\displaystyle{\int} \frac{x^{2}+x}{(x-2)^{2}} \mathrm{~d} x$ ； （12） $\displaystyle{\int} \frac{x^{4}}{\left(1+x^{2}\right)^{2}} \mathrm{~d} x$ ．
💡 答案与解析
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[AI解答] 以下是习题3-3中12道有理函数积分的详细解答。
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### （1） $$ \int \frac{1}{x(x-3)} \, dx $$ 部分分式分解： $$ \frac{1}{x(x-3)} = \frac{A}{x} + \frac{B}{x-3} $$ 解得 $A = -\frac13,\ B = \frac13$。 所以 $$ \int \frac{1}{x(x-3)} dx = -\frac13 \ln|x| + \frac13 \ln|x-3| + C = \frac13 \ln\left|\frac{x-3}{x}\right| + C $$
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### （2） $$ \int \frac{1}{x^2-4} dx $$ 分解： $$ \frac{1}{(x-2)(x+2)} = \frac{1}{4}\left(\frac{1}{x-2} - \frac{1}{x+2}\right) $$ 积分得： $$ \frac14 \ln\left|\frac{x-2}{x+2}\right| + C $$
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### （3） $$ \int \frac{2x+1}{x^2+2x-15} dx $$ 分母因式分解：$(x+5)(x-3)$。 设 $$ \frac{2x+1}{(x+5)(x-3)} = \frac{A}{x+5} + \frac{B}{x-3} $$ 解得 $A = \frac{9}{8},\ B = \frac{7}{8}$。 积分： $$ \frac{9}{8}\ln|x+5| + \frac{7}{8}\ln|x-3| + C $$
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### （4） $$ \int \frac{1}{4x^2+4x+10} dx $$ 配方： $$ 4x^2+4x+10 = 4\left(x^2 + x + \frac{5}{2}\right) = 4\left[\left(x+\frac12\right)^2 + \frac94\right] $$ 所以 $$ \int \frac{1}{4x^2+4x+10} dx = \frac14 \int \frac{1}{(x+\frac12)^2 + \frac94} dx $$ 令 $u = x+\frac12$，得 $$ \frac14 \cdot \frac{1}{\frac32} \arctan\left(\frac{2u}{3}\right) = \frac16 \arctan\left(\frac{2x+1}{3}\right) + C $$
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### （5） $$ \int \frac{x-2}{x^2+2x+3} dx $$ 分母配方：$(x+1)^2+2$。 分子改写： $$ x-2 = \frac12(2x+2) - 3 = \frac12(2x+2) - 3 $$ 所以 $$ \int \frac{x-2}{x^2+2x+3} dx = \frac12 \int \frac{2x+2}{x^2+2x+3} dx - 3\int \frac{1}{(x+1)^2+2} dx $$ 第一项：$\frac12 \ln|x^2+2x+3|$ 第二项：$-3\cdot \frac{1}{\sqrt2} \arctan\frac{x+1}{\sqrt2}$ 结果： $$ \frac12 \ln(x^2+2x+3) - \frac{3}{\sqrt2} \arctan\frac{x+1}{\sqrt2} + C $$
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### （6） $$ \int \frac{1}{x(x^2+1)} dx $$ 部分分式： $$ \frac{1}{x(x^2+1)} = \frac{1}{x} - \frac{x}{x^2+1} $$ 积分： $$ \ln|x| - \frac12 \ln(x^2+1) + C = \frac12 \ln\frac{x^2}{x^2+1} + C $$
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### （7） $$ \int \frac{x}{x^3-1} dx $$ 分解： $$ \frac{x}{(x-1)(x^2+x+1)} = \frac{A}{x-1} + \frac{Bx+C}{x^2+x+1} $$ 解得 $A = \frac13,\ B = -\frac13,\ C = \frac13$。 积分： 第一项：$\frac13 \ln|x-1|$ 第二项： $$ -\frac13 \int \frac{x-1}{x^2+x+1} dx $$ 分子改写：$x-1 = \frac12(2x+1) - \frac32$ 所以 $$ -\frac13\left[ \frac12 \ln(x^2+x+1) - \frac32 \int \frac{1}{(x+\frac12)^2 + \frac34} dx \right] $$ 而 $$ \int \frac{1}{(x+\frac12)^2 + \frac34} dx = \frac{2}{\sqrt3} \arctan\frac{2x+1}{\sqrt3} $$ 合并得： $$ \frac13 \ln|x-1| - \frac16 \ln(x^2+x+1) + \frac{1}{\sqrt3} \arctan\frac{2x+1}{\sqrt3} + C $$
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### （8） $$ \int \frac{1}{x^4-1} dx $$ 分解： $$ \frac{1}{(x^2-1)(x^2+1)} = \frac{1}{2}\left(\frac{1}{x^2-1} - \frac{1}{x^2+1}\right) $$ 而 $$ \frac{1}{x^2-1} = \frac12\left(\frac{1}{x-1} - \frac{1}{x+1}\right) $$ 所以 $$ \int \frac{1}{x^4-1} dx = \frac14 \ln\left|\frac{x-1}{x+1}\right| - \frac12 \arctan x + C $$
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### （9） $$ \int \frac{2x-5}{(x-1)^2(x+2)} dx $$ 设 $$ \frac{2x-5}{(x-1)^2(x+2)} = \frac{A}{x-1} + \frac{B}{(x-1)^2} + \frac{C}{x+2} $$ 解得 $A = -\frac{1}{3},\ B = -1,\ C = \frac13$。 积分： $$ -\frac13 \ln|x-1| - \int \frac{1}{(x-1)^2} dx + \frac13 \ln|x+2| $$ 而 $$ \int \frac{1}{(x-1)^2} dx = -\frac{1}{x-1} $$ 所以结果为： $$ -\frac13 \ln|x-1| + \frac{1}{x-1} + \frac13 \ln|x+2| + C $$
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### （10） $$ \int \frac{x^3+2x^2+12x+11}{x^2+2x+10} dx $$ 多项式除法： 商为 $x$，余数为 $2x+11$。 所以 $$ \int \left( x + \frac{2x+11}{x^2+2x+10} \right) dx $$ 分母配方：$(x+1)^2+9$。 分子改写：$2x+11 = 2(x+1) + 9$ 所以 $$ \int \frac{2x+11}{x^2+2x+10} dx = \ln(x^2+2x+10) + 9 \cdot \frac13 \arctan\frac{x+1}{3} $$ 最终： $$ \frac{x^2}{2} + \ln(x^2+2x+10) + 3\arctan\frac{x+1}{3} + C $$
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### （11） $$ \int \frac{x^2+x}{(x-2)^2} dx $$ 多项式除法： $$ \frac{x^2+x}{(x-2)^2} = 1 + \frac{5x-4}{(x-2)^2} $$ 再分解： $$ \frac{5x-4}{(x-2)^2} = \frac{5}{x-2} + \frac{6}{(x-2)^2} $$ 积分： $$ x + 5\ln|x-2| - \frac{6}{x-2} + C $$
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### （12） $$ \int \frac{x^4}{(1+x^2)^2} dx $$