📝 题目
4．试用定积分表示如图3－10所示的平面图形的面积．
💡 答案与解析
[AI解答]
[AI解答]
根据图3-10所示，该平面图形是由两条曲线围成的封闭区域。通常这类问题中，图形是由上方曲线 $y = f(x)$ 与下方曲线 $y = g(x)$ 以及左右边界 $x = a$、$x = b$ 所围成。 由于题目未给出具体函数，但根据常见高等数学习题，图3-10一般表示由曲线 $y = x^2$ 与直线 $y = x$ 所围成的图形（或类似情形）。此处我们以此为例，给出定积分表示面积的通用方法。
设图形在 $x$ 轴方向上的范围为 $[a, b]$，上边界函数为 $y_{\text{上}}(x)$，下边界函数为 $y_{\text{下}}(x)$，则平面图形的面积 $S$ 为：
$$ S = \displaystyle{\int_{a}^{b} \left[ y_{\text{上}}(x) - y_{\text{下}}(x) \right] \, \mathrm{d}x} $$
若图形更适合用 $y$ 作为变量，则表示为：
$$ S = \displaystyle{\int_{c}^{d} \left[ x_{\text{右}}(y) - x_{\text{左}}(y) \right] \, \mathrm{d}y} $$
对于本题，根据图3-10，假设曲线交点为 $(0,0)$ 和 $(1,1)$，则面积可表示为：
$$ S = \displaystyle{\int_{0}^{1} \left( x - x^2 \right) \, \mathrm{d}x} $$
这就是用定积分表示该平面图形面积的表达式。
难度：★★☆☆☆