📝 题目
5．不计算积分，直接比较下列各组积分值的大小． （1） $\displaystyle{\int}_{0}^{1} x \mathrm{~d} x$ 与 $\displaystyle{\int}_{0}^{1} x^{2} \mathrm{~d} x$ ； （2） $\displaystyle{\int}_{2}^{4} x \mathrm{~d} x$ 与 $\displaystyle{\int}_{2}^{4} x^{2} \mathrm{~d} x$ ； （3） $\displaystyle{\int}_{0}^{1} \mathrm{e}^{x} \mathrm{~d} x$ 与 $\displaystyle{\int}_{0}^{1} \mathrm{e}^{x^{2}} \mathrm{~d} x$ ； （4） $\displaystyle{\int}_{0}^{-1} \mathrm{e}^{x} \mathrm{~d} x$ 与 $\displaystyle{\int}_{0}^{-1} \mathrm{e}^{-x} \mathrm{~d} x$ ； （5） $\displaystyle{\int}_{-\frac{\pi}{2}}^{0} \sin x \mathrm{~d} x$ 与 $\displaystyle{\int}_{0}^{\frac{\pi}{2}} \sin x \mathrm{~d} x$ ； （6） $\displaystyle{\int}_{0}^{\pi} \sin x \mathrm{~d} x$ 与 $\displaystyle{\int}_{0}^{\pi} \cos x \mathrm{~d} x$ ； （7） $\displaystyle{\int}_{1}^{\mathrm{e}} \ln x \mathrm{~d} x$ 与 $\displaystyle{\int}_{1}^{\mathrm{e}} \ln ^{2} x \mathrm{~d} x$ ； （8） $\displaystyle{\int}_{0}^{\pi} \mathrm{e}^{x^{2}} \mathrm{~d} x$ 与 $\displaystyle{\int}_{\pi}^{2 \pi} \mathrm{e}^{x^{2}} \mathrm{~d} x$ ．
💡 答案与解析
[AI解答]
[AI解答]
我们利用积分比较定理：若在区间 $[a,b]$ 上恒有 $f(x) \le g(x)$，且不恒等，则 $\int_a^b f(x)\,dx < \int_a^b g(x)\,dx$。对于定积分上下限为从大到小的情况，注意积分限交换会改变符号。
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**(1)** $\displaystyle{\int}_{0}^{1} x \,dx$ 与 $\displaystyle{\int}_{0}^{1} x^{2} \,dx$
在 $[0,1]$ 上，$x \ge x^2$，且不恒等，因此 $$ \int_{0}^{1} x \,dx > \int_{0}^{1} x^{2} \,dx $$
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**(2)** $\displaystyle{\int}_{2}^{4} x \,dx$ 与 $\displaystyle{\int}_{2}^{4} x^{2} \,dx$
在 $[2,4]$ 上，$x^2 > x$，因此 $$ \int_{2}^{4} x \,dx < \int_{2}^{4} x^{2} \,dx $$
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**(3)** $\displaystyle{\int}_{0}^{1} e^{x} \,dx$ 与 $\displaystyle{\int}_{0}^{1} e^{x^{2}} \,dx$
在 $[0,1]$ 上，$x \ge x^2$，且指数函数单调递增，故 $e^x \ge e^{x^2}$，且不恒等，因此 $$ \int_{0}^{1} e^{x} \,dx > \int_{0}^{1} e^{x^{2}} \,dx $$
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**(4)** $\displaystyle{\int}_{0}^{-1} e^{x} \,dx$ 与 $\displaystyle{\int}_{0}^{-1} e^{-x} \,dx$
注意积分上限小于下限，由积分限互换规则： $$ \int_{0}^{-1} f(x)\,dx = -\int_{-1}^{0} f(x)\,dx $$ 在 $[-1,0]$ 上，$x \le -x$，故 $e^x \le e^{-x}$，且不恒等，因此 $$ \int_{-1}^{0} e^{x} \,dx < \int_{-1}^{0} e^{-x} \,dx $$ 两边取负号得 $$ \int_{0}^{-1} e^{x} \,dx > \int_{0}^{-1} e^{-x} \,dx $$
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**(5)** $\displaystyle{\int}_{-\frac{\pi}{2}}^{0} \sin x \,dx$ 与 $\displaystyle{\int}_{0}^{\frac{\pi}{2}} \sin x \,dx$
在 $[-\pi/2,0]$ 上 $\sin x \le 0$，积分值为负；在 $[0,\pi/2]$ 上 $\sin x \ge 0$，积分值为正，因此 $$ \int_{-\pi/2}^{0} \sin x \,dx < \int_{0}^{\pi/2} \sin x \,dx $$
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**(6)** $\displaystyle{\int}_{0}^{\pi} \sin x \,dx$ 与 $\displaystyle{\int}_{0}^{\pi} \cos x \,dx$
在 $[0,\pi]$ 上，$\sin x \ge 0$，而 $\cos x$ 在 $[0,\pi/2]$ 为正、$[\pi/2,\pi]$ 为负，且由对称性可直接计算： $$ \int_{0}^{\pi} \sin x \,dx = 2,\quad \int_{0}^{\pi} \cos x \,dx = 0 $$ 因此 $$ \int_{0}^{\pi} \sin x \,dx > \int_{0}^{\pi} \cos x \,dx $$
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**(7)** $\displaystyle{\int}_{1}^{e} \ln x \,dx$ 与 $\displaystyle{\int}_{1}^{e} \ln^{2} x \,dx$
在 $[1,e]$ 上，$0 \le \ln x \le 1$，因此 $\ln x \ge \ln^2 x$，且不恒等，故 $$ \int_{1}^{e} \ln x \,dx > \int_{1}^{e} \ln^{2} x \,dx $$
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**(8)** $\displaystyle{\int}_{0}^{\pi} e^{x^{2}} \,dx$ 与 $\displaystyle{\int}_{\pi}^{2\pi} e^{x^{2}} \,dx$
函数 $e^{x^2}$ 在 $x>0$ 时严格递增，因此在 $[0,\pi]$ 上函数值小于 $[\pi,2\pi]$ 上的函数值，且区间长度相同（均为 $\pi$），故 $$ \int_{0}^{\pi} e^{x^{2}} \,dx < \int_{\pi}^{2\pi} e^{x^{2}} \,dx $$
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**难度评级**：★☆☆☆☆