📝 题目
7．证明不等式 $\displaystyle{\int}_{2}^{3} \sqrt{x^{2}-x} \mathrm{~d} x \geqslant \sqrt{2}$ ．
💡 答案与解析
[AI解答]
[AI解答] 我们证明不等式 $$ \int_{2}^{3} \sqrt{x^{2} - x} \, dx \geq \sqrt{2}. $$
**第一步：化简被积函数** 对于 $x \in [2, 3]$，有 $$ x^{2} - x = x(x-1) \geq 2 \cdot 1 = 2, $$ 因此 $$ \sqrt{x^{2} - x} \geq \sqrt{2}. $$
**第二步：利用定积分的保序性** 由于在区间 $[2, 3]$ 上被积函数不小于常数 $\sqrt{2}$，故 $$ \int_{2}^{3} \sqrt{x^{2} - x} \, dx \geq \int_{2}^{3} \sqrt{2} \, dx = \sqrt{2} \cdot (3 - 2) = \sqrt{2}. $$
**第三步：结论** 不等式得证。
难度评级：★☆☆☆☆ （仅需利用函数单调性和积分保序性，计算简单。）