📝 题目
8．求极限 $\displaystyle{\lim _{n \rightarrow \infty} \displaystyle{\int}_{0}^{\frac{\pi}{4}} \sin ^{n} x \mathrm{~d} x$ ．
💡 答案与解析
[AI解答]
[AI解答] 我们要求极限 $$ \lim_{n \to \infty} \int_{0}^{\frac{\pi}{4}} \sin^{n} x \, \mathrm{d}x. $$
**第一步：分析被积函数在区间上的行为** 当 $x \in [0, \frac{\pi}{4}]$ 时，有 $0 \le \sin x \le \sin\frac{\pi}{4} = \frac{\sqrt{2}}{2} < 1$。 因此，对任意固定的 $x \in (0, \frac{\pi}{4}]$，有 $$ \lim_{n\to\infty} \sin^n x = 0, $$ 而在 $x=0$ 处，$\sin^n 0 = 0$ 也成立。所以被积函数逐点收敛到 0。
**第二步：考虑控制收敛或直接放缩** 由于 $0 \le \sin^n x \le \left(\frac{\sqrt{2}}{2}\right)^n$ 在 $[0, \frac{\pi}{4}]$ 上一致成立，因此 $$ 0 \le \int_{0}^{\frac{\pi}{4}} \sin^n x \, \mathrm{d}x \le \int_{0}^{\frac{\pi}{4}} \left(\frac{\sqrt{2}}{2}\right)^n \mathrm{d}x = \frac{\pi}{4} \left(\frac{\sqrt{2}}{2}\right)^n. $$
**第三步：取极限** 因为 $\frac{\sqrt{2}}{2} < 1$，所以 $$ \lim_{n\to\infty} \frac{\pi}{4} \left(\frac{\sqrt{2}}{2}\right)^n = 0. $$ 由夹逼定理，原极限为 0。
因此 $$ \boxed{0}. $$
难度：★☆☆☆☆