📝 题目
＊1．利用定积分的定义计算下列定积分： （1） $\displaystyle{\int}_{0}^{4}(2 x+3) \mathrm{d} x$ ； （2） $\displaystyle{\int}_{0}^{1} x^{3} \mathrm{~d} x$（提示：把区间 $n$ 等分，取 $\xi_{i}$ 为小区间右端点，并注意到 $1^{3}+2^{3}+\cdots+n^{3}= \left.\frac{1}{4} n^{2}(n+1)^{2}\right)$ ．
💡 答案与解析
[AI解答]
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**（1）** 计算 $\displaystyle{\int}_{0}^{4}(2x+3) \mathrm{d}x$
**步骤1：划分区间** 将区间 $[0,4]$ 分成 $n$ 等分，每个小区间长度为 $$ \Delta x = \frac{4-0}{n} = \frac{4}{n}. $$
**步骤2：取右端点** 第 $i$ 个小区间的右端点为 $$ x_i = 0 + i \cdot \frac{4}{n} = \frac{4i}{n}, \quad i = 1,2,\dots,n. $$
**步骤3：构造黎曼和** 函数 $f(x)=2x+3$ 在右端点的值为 $$ f(x_i) = 2 \cdot \frac{4i}{n} + 3 = \frac{8i}{n} + 3. $$ 黎曼和为 $$ S_n = \sum_{i=1}^{n} f(x_i) \Delta x = \sum_{i=1}^{n} \left( \frac{8i}{n} + 3 \right) \cdot \frac{4}{n} = \frac{4}{n} \sum_{i=1}^{n} \left( \frac{8i}{n} + 3 \right). $$
**步骤4：求和** 拆开求和： $$ S_n = \frac{4}{n} \left( \frac{8}{n} \sum_{i=1}^{n} i + \sum_{i=1}^{n} 3 \right) = \frac{4}{n} \left( \frac{8}{n} \cdot \frac{n(n+1)}{2} + 3n \right). $$ 化简： $$ S_n = \frac{4}{n} \left( 4(n+1) + 3n \right) = \frac{4}{n} (4n+4+3n) = \frac{4}{n} (7n+4) = 28 + \frac{16}{n}. $$
**步骤5：取极限** 由定积分定义： $$ \int_{0}^{4} (2x+3) \, \mathrm{d}x = \lim_{n \to \infty} S_n = \lim_{n \to \infty} \left( 28 + \frac{16}{n} \right) = 28. $$
因此 $$ \boxed{28}. $$
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**（2）** 计算 $\displaystyle{\int}_{0}^{1} x^{3} \mathrm{~d} x$
**步骤1：划分区间** 将 $[0,1]$ 分成 $n$ 等分， $$ \Delta x = \frac{1}{n}. $$
**步骤2：取右端点** 第 $i$ 个小区间右端点为 $$ x_i = \frac{i}{n}, \quad i = 1,2,\dots,n. $$
**步骤3：构造黎曼和** 函数 $f(x)=x^3$ 在右端点的值为 $$ f(x_i) = \left( \frac{i}{n} \right)^3 = \frac{i^3}{n^3}. $$ 黎曼和为 $$ S_n = \sum_{i=1}^{n} \frac{i^3}{n^3} \cdot \frac{1}{n} = \frac{1}{n^4} \sum_{i=1}^{n} i^3. $$
**步骤4：利用已知求和公式** 已知 $$ \sum_{i=1}^{n} i^3 = \frac{1}{4} n^2 (n+1)^2, $$ 代入得 $$ S_n = \frac{1}{n^4} \cdot \frac{1}{4} n^2 (n+1)^2 = \frac{(n+1)^2}{4 n^2} = \frac{1}{4} \left( 1 + \frac{1}{n} \right)^2. $$
**步骤5：取极限** $$ \int_{0}^{1} x^3 \, \mathrm{d}x = \lim_{n \to \infty} S_n = \lim_{n \to \infty} \frac{1}{4} \left( 1 + \frac{1}{n} \right)^2 = \frac{1}{4}. $$
因此 $$ \boxed{\frac{1}{4}}. $$
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难度评级：★★☆☆☆ （主要考察定积分定义与基本求和公式，计算过程直接，但需理解极限思想）