📝 题目
＊9．曲边梯形由曲线 $x=g(y)$ 、直线 $y=c 、 y=d$ 和 $y$ 轴所围（见图3－11），试用定积分定义导出其面积的定积分表示式。
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💡 答案与解析
[AI解答]
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**步骤1：理解问题与设定**
曲边梯形由曲线 $x = g(y)$、直线 $y = c$、$y = d$（其中 $c < d$）以及 $y$ 轴（即直线 $x = 0$）所围成。 这里 $g(y)$ 是 $y$ 的函数，且假设在区间 $[c, d]$ 上 $g(y) \ge 0$（否则面积需考虑绝对值，但此处按常规理解为非负）。
**步骤2：分割区间**
将区间 $[c, d]$ 任意分割成 $n$ 个小区间： $$ c = y_0 < y_1 < y_2 < \cdots < y_n = d $$ 第 $i$ 个小区间的长度为 $\Delta y_i = y_i - y_{i-1}$，并记所有小区间长度的最大值为 $\lambda = \max\limits_{1 \le i \le n} \Delta y_i$。
**步骤3：近似每个小曲边梯形的面积**
在第 $i$ 个小区间 $[y_{i-1}, y_i]$ 上任取一点 $\eta_i$，则对应的小曲边梯形可近似看作以 $\Delta y_i$ 为高、以 $g(\eta_i)$ 为底边长的矩形（因为 $y$ 轴在 $x=0$ 处）。 因此，第 $i$ 个小曲边梯形的面积近似为： $$ \Delta A_i \approx g(\eta_i) \cdot \Delta y_i $$
**步骤4：求和得到总面积近似值**
整个曲边梯形的面积 $A$ 的近似值为： $$ A \approx \sum_{i=1}^{n} g(\eta_i) \Delta y_i $$
**步骤5：取极限得到定积分**
当分割无限细密，即 $\lambda \to 0$ 时，上述和式的极限就是曲边梯形的精确面积。根据定积分的定义，有： $$ A = \lim_{\lambda \to 0} \sum_{i=1}^{n} g(\eta_i) \Delta y_i = \int_{c}^{d} g(y) \, dy $$
**最终答案：** $$ \boxed{A = \int_{c}^{d} g(y) \, dy} $$
**难度评级：** ★☆☆☆☆ （本题为基础概念题，直接应用定积分定义于以 $y$ 为自变量的曲边梯形面积，步骤标准且无复杂变形。）