📝 题目
1．设 $f(x)$ 在 $[a, b]$ 上连续，则 $\displaystyle{\int}_{a}^{x} f(t) \mathrm{d} t$ 与 $\displaystyle{\int}_{x}^{b} f(u) \mathrm{d} u$ 是 $x$ 的函数还是 $t$ 或 $u$ 的函数？它们的导数存在吗？如果存在，等于什么？
💡 答案与解析
[AI解答]
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首先，我们分析这两个表达式。 第一个积分： $$ \displaystyle{\int}_{a}^{x} f(t) \mathrm{d} t $$ 积分变量是 $t$，积分上限是 $x$，下限是常数 $a$。因此，当 $x$ 变化时，积分结果随之变化，所以它是 $x$ 的函数，而不是 $t$ 的函数（$t$ 是积分过程中被积掉的哑变量）。
第二个积分： $$ \displaystyle{\int}_{x}^{b} f(u) \mathrm{d} u $$ 积分变量是 $u$，下限是 $x$，上限是常数 $b$。同样，它是 $x$ 的函数，而不是 $u$ 的函数。
因此，两者都是 $x$ 的函数。
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接下来讨论导数是否存在。 已知 $f(x)$ 在 $[a,b]$ 上连续，根据微积分基本定理：
对于第一个积分，设 $$ F(x) = \displaystyle{\int}_{a}^{x} f(t) \mathrm{d} t $$ 则 $$ F'(x) = f(x) $$ 导数存在且等于 $f(x)$。
对于第二个积分，可以改写为 $$ G(x) = \displaystyle{\int}_{x}^{b} f(u) \mathrm{d} u = -\displaystyle{\int}_{b}^{x} f(u) \mathrm{d} u $$ 因此 $$ G'(x) = -f(x) $$ 导数存在且等于 $-f(x)$。
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**结论**： - 两者都是 $x$ 的函数。 - 导数都存在。 - $\displaystyle \frac{d}{dx} \left( \int_{a}^{x} f(t) dt \right) = f(x)$ - $\displaystyle \frac{d}{dx} \left( \int_{x}^{b} f(u) du \right) = -f(x)$
难度：★☆☆☆☆