📝 题目
3．设 $g(x)$ 是连续函数，且 $\displaystyle{\int}_{0}^{x^{2}-1} g(t) \mathrm{d} t=-x$ ，求 $g(3)$ ．
💡 答案与解析
[AI解答]
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已知 $$ \int_{0}^{x^{2}-1} g(t)\, dt = -x $$ 且 $g$ 连续。要求 $g(3)$。
**第一步：两边对 $x$ 求导** 利用变上限积分求导公式： 若 $F(x) = \int_{0}^{h(x)} g(t)\, dt$，则 $$ F'(x) = g(h(x)) \cdot h'(x) $$ 这里 $h(x) = x^{2} - 1$，所以 $$ \frac{d}{dx} \left( \int_{0}^{x^{2}-1} g(t)\, dt \right) = g(x^{2}-1) \cdot (2x) $$ 右边 $-x$ 的导数为 $-1$。于是得到 $$ g(x^{2} - 1) \cdot 2x = -1 $$
**第二步：解出 $g(x^{2}-1)$** 当 $x \neq 0$ 时， $$ g(x^{2} - 1) = -\frac{1}{2x} $$
**第三步：求 $g(3)$** 令 $x^{2} - 1 = 3$，则 $$ x^{2} = 4 \quad \Rightarrow \quad x = 2 \quad \text{或} \quad x = -2 $$ 代入表达式： - 若 $x = 2$，则 $$ g(3) = -\frac{1}{2 \cdot 2} = -\frac{1}{4} $$ - 若 $x = -2$，则 $$ g(3) = -\frac{1}{2 \cdot (-2)} = \frac{1}{4} $$
由于原方程对 $x$ 必须一致成立，我们需验证是否两个值都合理。 检查原方程在 $x=2$ 和 $x=-2$ 时的情形： 当 $x=2$，左边积分上限为 $3$，右边为 $-2$； 当 $x=-2$，左边积分上限同样为 $3$，右边为 $2$。 显然，一个积分值不能同时等于两个不同的数，因此只能有一个成立。
**第四步：确定正确符号** 原方程对所有 $x$ 成立，特别地取 $x=0$： 左边积分上限为 $-1$，积分 $\int_{0}^{-1} g(t)\, dt = -\int_{-1}^{0} g(t)\, dt$，右边为 $0$，所以 $$ \int_{-1}^{0} g(t)\, dt = 0 $$ 这并不直接矛盾。 我们考虑 $x$ 的正负性：由导数关系式 $$ g(x^{2}-1) = -\frac{1}{2x} $$ 可知当 $x>0$ 时 $g(3) = -1/4$，当 $x<0$ 时 $g(3)=1/4$。 但原方程左边是积分，右边是 $-x$，若取 $x=1$，则 $$ \int_{0}^{0} g(t)\, dt = 0 = -1 $$ 矛盾，说明 $x=1$ 不在定义域？实际上 $x=1$ 使上限为0，积分值为0，右边为-1，不成立。 这说明原方程只在某些 $x$ 处成立？题目说“$g(x)$ 是连续函数，且 $\int_{0}^{x^{2}-1} g(t) dt = -x$”，通常理解为对所有实数 $x$ 成立。 若对所有 $x$ 成立，则当 $x=1$ 时左边为0，右边为-1，矛盾。因此实际上该等式不可能对所有 $x$ 成立，可能是题目隐含 $x$ 使得积分有意义即可，但必须满足等式。 我们由求导得到的表达式 $g(x^{2}-1) = -1/(2x)$ 在 $x \neq 0$ 时有效。要确定 $g(3)$，必须选择使原方程一致的 $x$。 取 $x=2$，原方程左边 $\int_{0}^{3} g(t) dt = -2$； 取 $x=-2$，左边 $\int_{0}^{3} g(t) dt = 2$。 显然不能同时成立，因此只能有一个 $x$ 使原方程成立。 由原方程，当 $x=2$ 时右边为 $-2$，当 $x=-2$ 时右边为 $2$。 由于积分值唯一，必须选择使等式一致的符号。 若取 $x=2$，则积分值为 $-2$；若取 $x=-2$，则积分值为 $2$。两者符号相反，但积分值固定。 因此，原方程实际上只对特定的 $x$ 成立，但题目未限制 $x$ 范围，通常此类题默认 $x$ 使等式成立即可，我们由求导公式得到的关系应代入使 $x^{2}-1=3$ 的 $x$，再检查原方程一致性。 代入 $x=2$ 得 $g(3)=-1/4$，代入原方程：左边积分值为 $-2$，右边 $-2$，成立。 代入 $x=-2$ 得 $g(3)=1/4$，左边积分值为 $2$，右边 $2$，也成立。 两者都满足，但 $g(3)$ 却有两个值，这与函数单值矛盾。 因此必须检查原方程是否对 $x$ 和 $-x$ 同时成立：若对 $x$ 成立，则对 $-x$，左边积分上限相同（因为 $(-x)^2-1 = x^2-1$），右边为 $-(-x)=x$，除非 $x=0$，否则不可能同时成立。 所以原方程不可能对所有 $x$ 成立，它只能对某个特定符号的 $x$ 成立。题目未说明，但通常我们取 $x=2$ 得到 $g(3)=-\frac{1}{4}$。
**最终答案：** $$ \boxed{-\dfrac{1}{4}} $$
难度：★★☆☆☆