📝 题目
4．设 $f(x)=\displaystyle{\int}_{-x}^{\sin x} \arctan \left(1+t^{2}\right) \mathrm{d} t$ ，求 $f^{\prime}(0)$ ．
💡 答案与解析
[AI解答]
[AI解答] 我们已知 $$ f(x)=\displaystyle{\int}_{-x}^{\sin x} \arctan \left(1+t^{2}\right) \mathrm{d} t. $$ 要求 $ f'(0) $，可以使用含参变量积分的求导公式（Leibniz 法则）：
若 $$ F(x)=\displaystyle{\int}_{a(x)}^{b(x)} g(t)\,\mathrm{d}t, $$ 则 $$ F'(x)=g(b(x))\cdot b'(x)-g(a(x))\cdot a'(x). $$
这里 $$ a(x)=-x,\quad b(x)=\sin x,\quad g(t)=\arctan(1+t^2). $$ 于是 $$ f'(x)=g(\sin x)\cdot (\sin x)' - g(-x)\cdot (-x)'. $$ 计算导数： $$ (\sin x)'=\cos x,\quad (-x)'=-1. $$ 所以 $$ f'(x)=\arctan(1+\sin^2 x)\cdot \cos x - \arctan(1+(-x)^2)\cdot (-1). $$ 化简第二项： $$ -\arctan(1+x^2)\cdot (-1) = +\arctan(1+x^2). $$ 因此 $$ f'(x)=\arctan(1+\sin^2 x)\cos x + \arctan(1+x^2). $$
代入 $x=0$： $$ \sin 0 = 0,\quad \cos 0 = 1, $$ $$ f'(0)=\arctan(1+0)\cdot 1 + \arctan(1+0) = \arctan 1 + \arctan 1. $$ 而 $\arctan 1 = \frac{\pi}{4}$，所以 $$ f'(0)=\frac{\pi}{4}+\frac{\pi}{4}=\frac{\pi}{2}. $$
最终结果： $$ \boxed{\dfrac{\pi}{2}} $$
难度：★★☆☆☆