📝 题目
6．设 $y(x)$ 是由方程 $\displaystyle{\int}_{0}^{y} \mathrm{e}^{-t^{2}} \mathrm{~d} t+\displaystyle{\int}_{0}^{x} \cos \left(t^{2}\right) \mathrm{d} t=0$ 所确定的隐函数，求 $\frac{\mathrm{d} y}{\mathrm{~d} x}$ ．
💡 答案与解析
[AI解答]
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我们已知隐函数方程： $$ \int_{0}^{y} e^{-t^{2}} \, dt + \int_{0}^{x} \cos(t^{2}) \, dt = 0 $$ 要求 $\frac{dy}{dx}$。
对方程两边关于 $x$ 求导，注意 $y$ 是 $x$ 的函数。使用变上限积分求导公式： $$ \frac{d}{dx} \int_{0}^{y(x)} e^{-t^{2}} dt = e^{-y^{2}} \cdot \frac{dy}{dx} $$ 以及 $$ \frac{d}{dx} \int_{0}^{x} \cos(t^{2}) dt = \cos(x^{2}) $$
因此，对原方程两边求导得： $$ e^{-y^{2}} \cdot \frac{dy}{dx} + \cos(x^{2}) = 0 $$
解得： $$ \frac{dy}{dx} = - \frac{\cos(x^{2})}{e^{-y^{2}}} = - e^{y^{2}} \cos(x^{2}) $$
因此结果为： $$ \boxed{\frac{dy}{dx} = -e^{y^{2}} \cos(x^{2})} $$
难度：★★☆☆☆