📝 题目
7．求函数 $f(x)=\displaystyle{\int}_{0}^{x}(1+t) \arctan t \mathrm{~d} t$ 的极小值．
💡 答案与解析
[AI解答]
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首先，我们要求函数 $$ f(x)=\int_{0}^{x} (1+t)\arctan t \, dt $$ 的极小值。由于这是一个积分定义的函数，我们可以利用微积分基本定理来求其导数。
由微积分基本定理，有 $$ f'(x) = (1+x)\arctan x. $$
为了求极值，令导数为零： $$ (1+x)\arctan x = 0. $$ 由于 $1+x=0$ 给出 $x=-1$，而 $\arctan x=0$ 给出 $x=0$，所以驻点为 $x=-1$ 和 $x=0$。
接下来判断这些点是否为极小值点。我们可以用二阶导数或一阶导数符号变化来判断。
先求二阶导数： $$ f''(x) = \frac{d}{dx}\big[(1+x)\arctan x\big] = \arctan x + \frac{1+x}{1+x^2}. $$
在 $x=-1$ 处： $$ f''(-1) = \arctan(-1) + \frac{1-1}{1+1} = -\frac{\pi}{4} + 0 = -\frac{\pi}{4} < 0, $$ 所以 $x=-1$ 是极大值点。
在 $x=0$ 处： $$ f''(0) = \arctan 0 + \frac{1+0}{1+0} = 0 + 1 = 1 > 0, $$ 所以 $x=0$ 是极小值点。
因此，极小值为 $$ f(0) = \int_{0}^{0} (1+t)\arctan t \, dt = 0. $$
所以函数的极小值为 $0$，在 $x=0$ 处取得。
难度：★☆☆☆☆