📝 题目
8．求下列极限： （1） $\displaystyle{\lim _{x \rightarrow 0} \frac{\displaystyle{\int}_{0}^{x} \sin t^{2} \mathrm{~d} t}{x^{3}}$ ； （2） $\displaystyle{\lim _{x \rightarrow 1} \frac{\displaystyle{\int}_{1}^{x} \mathrm{e}^{t^{2}} \mathrm{~d} t}{\ln x}$ ； （3） $\displaystyle{\lim _{x \rightarrow 0} \frac{\displaystyle{\int}_{0}^{x} 2 t \cos t \mathrm{~d} t}{1-\cos x}$ ； （4） $\displaystyle{\lim _{x \rightarrow 0} \frac{\displaystyle{\int}_{0}^{x} \cos \left(t^{2}\right) \mathrm{d} t}{\ln (1+x)}$ ； （5） $\displaystyle{\lim _{x \rightarrow+\infty} \frac{\displaystyle{\int}_{0}^{x}(\arctan t)^{2} \mathrm{~d} t}{\sqrt{1+x^{2}}}$ ； （6） $\displaystyle{\lim _{x \rightarrow 0} \frac{\displaystyle{\int}_{0}^{\sin x} \sqrt{\tan t} \mathrm{~d} t}{\displaystyle{\int}_{0}^{\tan x} \sqrt{\sin t} \mathrm{~d} t}$ ； （7） $\displaystyle{\lim _{x \rightarrow 0^{+}} \frac{\displaystyle{\int}_{0}^{x^{2}} t^{\frac{3}{2}} \mathrm{~d} t}{\displaystyle{\int}_{0}^{x} t(t-\sin t) \mathrm{d} t}$ ； （8） $\displaystyle{\lim _{x \rightarrow 0} \frac{\left(\displaystyle{\int}_{0}^{x} \mathrm{e}^{t^{2}} \mathrm{~d} t\right)^{2}}{\displaystyle{\int}_{0}^{x} t \mathrm{e}^{2 t^{2}} \mathrm{~d} t}$ ．
💡 答案与解析
[AI解答]
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以下为各小题的详细解答，均使用洛必达法则结合变上限积分求导。
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### （1） $$ \lim_{x \to 0} \frac{\displaystyle{\int}_{0}^{x} \sin t^{2} \, \mathrm{d}t}{x^{3}} $$ 当 $x\to 0$ 时，分子分母均趋于 0，用洛必达法则： $$ \lim_{x \to 0} \frac{\sin x^{2}}{3x^{2}} = \frac{1}{3} \lim_{x \to 0} \frac{\sin x^{2}}{x^{2}} = \frac{1}{3} $$ 难度：★★☆☆☆
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### （2） $$ \lim_{x \to 1} \frac{\displaystyle{\int}_{1}^{x} \mathrm{e}^{t^{2}} \, \mathrm{d}t}{\ln x} $$ 当 $x\to 1$ 时，分子分母均趋于 0，用洛必达法则： $$ \lim_{x \to 1} \frac{\mathrm{e}^{x^{2}}}{1/x} = \lim_{x \to 1} x \mathrm{e}^{x^{2}} = 1 \cdot e^{1} = e $$ 难度：★★☆☆☆
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### （3） $$ \lim_{x \to 0} \frac{\displaystyle{\int}_{0}^{x} 2 t \cos t \, \mathrm{d}t}{1 - \cos x} $$ 当 $x\to 0$ 时，分子分母均趋于 0，用洛必达法则： $$ \lim_{x \to 0} \frac{2x \cos x}{\sin x} = 2 \lim_{x \to 0} \frac{x}{\sin x} \cdot \cos x = 2 \cdot 1 \cdot 1 = 2 $$ 难度：★★☆☆☆
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### （4） $$ \lim_{x \to 0} \frac{\displaystyle{\int}_{0}^{x} \cos(t^{2}) \, \mathrm{d}t}{\ln(1+x)} $$ 当 $x\to 0$ 时，分子分母均趋于 0，用洛必达法则： $$ \lim_{x \to 0} \frac{\cos(x^{2})}{\frac{1}{1+x}} = \lim_{x \to 0} (1+x) \cos(x^{2}) = 1 \cdot 1 = 1 $$ 难度：★★☆☆☆
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### （5） $$ \lim_{x \to +\infty} \frac{\displaystyle{\int}_{0}^{x} (\arctan t)^{2} \, \mathrm{d}t}{\sqrt{1+x^{2}}} $$ 当 $x\to +\infty$ 时，分子分母均趋于无穷大，用洛必达法则： $$ \lim_{x \to +\infty} \frac{(\arctan x)^{2}}{\frac{x}{\sqrt{1+x^{2}}}} $$ 由于 $\arctan x \to \frac{\pi}{2}$，且 $\frac{x}{\sqrt{1+x^{2}}} \to 1$，故极限为： $$ \left(\frac{\pi}{2}\right)^{2} = \frac{\pi^{2}}{4} $$ 难度：★★★☆☆
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### （6） $$ \lim_{x \to 0} \frac{\displaystyle{\int}_{0}^{\sin x} \sqrt{\tan t} \, \mathrm{d}t}{\displaystyle{\int}_{0}^{\tan x} \sqrt{\sin t} \, \mathrm{d}t} $$ 当 $x\to 0$ 时，分子分母均趋于 0，用洛必达法则（注意复合函数求导）： 分子导数为： $$ \sqrt{\tan(\sin x)} \cdot \cos x $$ 分母导数为： $$ \sqrt{\sin(\tan x)} \cdot \sec^{2} x $$ 因此极限为： $$ \lim_{x \to 0} \frac{\sqrt{\tan(\sin x)} \cos x}{\sqrt{\sin(\tan x)} \sec^{2} x} $$ 当 $x\to 0$ 时，$\tan(\sin x) \sim \sin x \sim x$，$\sin(\tan x) \sim \tan x \sim x$，且 $\cos x \to 1$，$\sec^{2} x \to 1$，故极限为： $$ \frac{\sqrt{x}}{\sqrt{x}} = 1 $$ 难度：★★★☆☆
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### （7） $$ \lim_{x \to 0^{+}} \frac{\displaystyle{\int}_{0}^{x^{2}} t^{\frac{3}{2}} \, \mathrm{d}t}{\displaystyle{\int}_{0}^{x} t(t - \sin t) \, \mathrm{d}t} $$ 分子积分： $$ \int_{0}^{x^{2}} t^{3/2} \, \mathrm{d}t = \frac{2}{5} (x^{2})^{5/2} = \frac{2}{5} x^{5} $$ 分母用等价无穷小：$t - \sin t \sim \frac{t^{3}}{6}$，故 $$ t(t - \sin t) \sim \frac{t^{4}}{6} $$ 积分得： $$ \int_{0}^{x} \frac{t^{4}}{6} \, \mathrm{d}t = \frac{x^{5}}{30} $$ 因此极限为： $$ \frac{\frac{2}{5} x^{5}}{\frac{1}{30} x^{5}} = \frac{2}{5} \cdot 30 = 12 $$ 难度：★★★☆☆
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### （8） $$ \lim_{x \to 0} \frac{\left(\displaystyle{\int}_{0}^{x} \mathrm{e}^{t^{2}} \, \mathrm{d}t\right)^{2}}{\displaystyle{\int}_{0}^{x} t \mathrm{e}^{2t^{2}} \, \mathrm{d}t} $$ 当 $x\to 0$ 时，分子分母均趋于 0，用洛必达法则： 分子导数为： $$ 2 \left(\int_{0}^{x} \mathrm{e}^{t^{2}} \, \mathrm{d}t\right) \cdot \mathrm{e}^{x^{2}} $$ 分母导数为： $$ x \mathrm{e}^{2x^{2}} $$ 因此极限为： $$ \lim_{x \to 0} \frac{2 \mathrm{e}^{x^{2}} \int_{0}^{x} \mathrm{e}^{t^{2}} \, \mathrm{d}t}{x \mathrm{e}^{2x^{2}}} = \lim_{x \to 0} \frac{2 \int_{0}^{x} \mathrm{e}^{t^{2}} \, \mathrm{d}t}{x \mathrm{e}^{x^{2}}} $$ 再次用洛必达法则（仍为 0/0 型）： 分子导数为 $2 \mathrm{e}^{x^{2}}$，分母导数为 $\mathrm{e}^{x^{2}} + 2x^{2} \mathrm{e}^{x^{2}} = \mathrm{e}^{x^{2}}(1 + 2x^{2})$，故极限为： $$ \lim_{x \to 0} \frac{2 \mathrm{e}^{x^{2}}}{\mathrm{e}^{x^{2}}(1 + 2x^{2})} = \frac{2}{1} = 2 $$ 难度：★★★★☆
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**难度总评**： （1）~（4）★★☆☆☆ （5）（6）（7）★★★☆☆ （8）★★★★☆