📝 题目
1．用定积分的换元法计算下列积分： （1） $\displaystyle{\int}_{0}^{1}\left(2 x^{2}-\sqrt[3]{x}+1\right) \mathrm{d} x$ ； （2） $\displaystyle{\int}_{-\frac{1}{2}}^{\frac{1}{2}} \frac{1}{\sqrt{1-x^{2}}} \mathrm{~d} x$ ； （3） $\displaystyle{\int}_{0}^{\frac{\pi}{2}} \sin \varphi \cos ^{3} \varphi \mathrm{~d} \varphi$ ； （4） $\displaystyle{\int}_{0}^{\frac{T}{2}} \sin \left(\frac{2 \pi}{T} t-\varphi_{0}\right) \mathrm{d} t$ ； （5） $\displaystyle{\int}_{-2}^{-1} \frac{1}{x^{2}+4 x+5} \mathrm{~d} x$ ； （6） $\displaystyle{\int}_{0}^{1} \frac{1}{9 x^{2}+6 x+1} \mathrm{~d} x$ ； （7） $\displaystyle{\int}_{-\frac{\pi}{2}}^{\frac{\pi}{2}} \frac{1}{1+\cos \theta} \mathrm{d} \theta$ ； （8） $\displaystyle{\int}_{0}^{\pi} \sqrt{1+\cos 2 x} \mathrm{~d} x$ ； （9） $\displaystyle{\int}_{0}^{\frac{\pi}{2}}(1-\cos x) \sin ^{2} x \mathrm{~d} x$ ； （10） $\displaystyle{\int}_{\frac{1}{\pi}}^{\frac{2}{\pi}} \frac{1}{x^{2}} \sin \frac{1}{x} \mathrm{~d} x$ ； （11） $\displaystyle{\int}_{0}^{\frac{\pi}{4}} \tan ^{2} \theta \mathrm{~d} \theta$ ； （12） $\displaystyle{\int}_{\frac{\pi}{6}}^{\frac{\pi}{2}} \cot ^{2} t \mathrm{~d} t$ ； （13） $\displaystyle{\int}_{0}^{\pi}\left(1-\sin ^{3} \theta\right) \mathrm{d} \theta$ ； （14） $\displaystyle{\int}_{0}^{2}\left(1+x \mathrm{e}^{\frac{x^{2}}{4}}\right) \mathrm{d} x$ ； （15） $\displaystyle{\int}_{0}^{1} \frac{1}{\sqrt{4-x^{2}}} \mathrm{~d} x$ ； （16） $\displaystyle{\int}_{-1}^{0} \frac{x}{\sqrt{4-x^{2}}} \mathrm{~d} x$ ； （17） $\displaystyle{\int}_{0}^{1} \frac{1}{\mathrm{e}^{x}+1} \mathrm{~d} x$ ； （18） $\displaystyle{\int}_{1}^{-1} \frac{\mathrm{e}^{x}}{\mathrm{e}^{x}+1} \mathrm{~d} x$ ； （19） $\displaystyle{\int}_{-\frac{\pi}{2}}^{\frac{\pi}{2}} \frac{\mathrm{e}^{x}}{\mathrm{e}^{2 x}+1} \mathrm{~d} x$ ； （20） $\displaystyle{\int}_{1}^{\mathrm{e}^{2}} \frac{1}{x \sqrt{\ln x+1}} \mathrm{~d} x$ ．
💡 答案与解析
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以下为各小题的详细解答，均采用定积分换元法或直接积分法，并给出完整步骤。
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### （1） $$ \int_{0}^{1} \left(2x^{2} - \sqrt[3]{x} + 1\right) \mathrm{d}x $$ 直接积分： $$ = \left[ \frac{2}{3}x^{3} - \frac{3}{4}x^{\frac{4}{3}} + x \right]_{0}^{1} = \frac{2}{3} - \frac{3}{4} + 1 = \frac{8}{12} - \frac{9}{12} + \frac{12}{12} = \frac{11}{12} $$
**难度：★☆☆☆☆**
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### （2） $$ \int_{-\frac{1}{2}}^{\frac{1}{2}} \frac{1}{\sqrt{1-x^{2}}} \mathrm{d}x $$ 原函数为 $\arcsin x$： $$ = \left[ \arcsin x \right]_{-\frac{1}{2}}^{\frac{1}{2}} = \arcsin\frac{1}{2} - \arcsin\left(-\frac{1}{2}\right) = \frac{\pi}{6} - \left(-\frac{\pi}{6}\right) = \frac{\pi}{3} $$
**难度：★☆☆☆☆**
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### （3） $$ \int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \sin\varphi \cos^{3}\varphi \, \mathrm{d}\varphi $$ 令 $u = \cos\varphi$，$\mathrm{d}u = -\sin\varphi\,\mathrm{d}\varphi$，当 $\varphi=0$ 时 $u=1$，$\varphi=\frac{\pi}{2}$ 时 $u=0$： $$ = \int_{1}^{0} u^{3} (-\mathrm{d}u) = \int_{0}^{1} u^{3} \mathrm{d}u = \left[ \frac{u^{4}}{4} \right]_{0}^{1} = \frac{1}{4} $$
**难度：★☆☆☆☆**
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### （4） $$ \int_{0}^{\frac{T}{2}} \sin\left( \frac{2\pi}{T}t - \varphi_{0} \right) \mathrm{d}t $$ 令 $u = \frac{2\pi}{T}t - \varphi_{0}$，$\mathrm{d}u = \frac{2\pi}{T}\mathrm{d}t$，当 $t=0$ 时 $u=-\varphi_{0}$，$t=\frac{T}{2}$ 时 $u=\pi-\varphi_{0}$： $$ = \int_{-\varphi_{0}}^{\pi-\varphi_{0}} \sin u \cdot \frac{T}{2\pi} \mathrm{d}u = \frac{T}{2\pi} \left[ -\cos u \right]_{-\varphi_{0}}^{\pi-\varphi_{0}} = \frac{T}{2\pi} \left( -\cos(\pi-\varphi_{0}) + \cos(-\varphi_{0}) \right) $$ 由于 $\cos(\pi-\varphi_{0}) = -\cos\varphi_{0}$，$\cos(-\varphi_{0}) = \cos\varphi_{0}$： $$ = \frac{T}{2\pi} \left( \cos\varphi_{0} + \cos\varphi_{0} \right) = \frac{T}{\pi} \cos\varphi_{0} $$
**难度：★★☆☆☆**
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### （5） $$ \int_{-2}^{-1} \frac{1}{x^{2}+4x+5} \mathrm{d}x $$ 配方：$x^{2}+4x+5 = (x+2)^{2}+1$，令 $u = x+2$，$\mathrm{d}u = \mathrm{d}x$，当 $x=-2$ 时 $u=0$，$x=-1$ 时 $u=1$： $$ = \int_{0}^{1} \frac{1}{u^{2}+1} \mathrm{d}u = \left[ \arctan u \right]_{0}^{1} = \frac{\pi}{4} $$
**难度：★☆☆☆☆**
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### （6） $$ \int_{0}^{1} \frac{1}{9x^{2}+6x+1} \mathrm{d}x $$ 分母为 $(3x+1)^{2}$，令 $u = 3x+1$，$\mathrm{d}u = 3\mathrm{d}x$，当 $x=0$ 时 $u=1$，$x=1$ 时 $u=4$： $$ = \int_{1}^{4} \frac{1}{u^{2}} \cdot \frac{1}{3} \mathrm{d}u = \frac{1}{3} \left[ -\frac{1}{u} \right]_{1}^{4} = \frac{1}{3} \left( -\frac{1}{4} + 1 \right) = \frac{1}{3} \cdot \frac{3}{4} = \frac{1}{4} $$
**难度：★☆☆☆☆**
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### （7） $$ \int_{-\frac{\pi}{2}}^{\frac{\pi}{2}} \frac{1}{1+\cos\theta} \mathrm{d}\theta $$ 利用半角公式：$1+\cos\theta = 2\cos^{2}\frac{\theta}{2}$，则： $$ = \int_{-\frac{\pi}{2}}^{\frac{\pi}{2}} \frac{1}{2\cos^{2}\frac{\theta}{2}} \mathrm{d}\theta = \frac{1}{2} \int_{-\frac{\pi}{2}}^{\frac{\pi}{2}} \sec^{2}\frac{\theta}{2} \mathrm{d}\theta $$ 令 $u = \frac{\theta}{2}$，$\mathrm{d}u = \frac{1}{2}\mathrm{d}\theta$，当 $\theta=-\frac{\pi}{2}$ 时 $u=-\frac{\pi}{4}$，$\theta=\frac{\pi}{2}$ 时 $u=\frac{\pi}{4}$： $$ = \frac{1}{2} \int_{-\frac{\pi}{4}}^{\frac{\pi}{4}} \sec^{2}u \cdot 2\mathrm{d}u = \int_{-\frac{\pi}{4}}^{\frac{\pi}{4}} \sec^{2}u \,\mathrm{d}u = \left[ \tan u \right]_{-\frac{\pi}{4}}^{\frac{\pi}{4}} = 1 - (-1) = 2 $$
**难度：★★☆☆☆**
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### （8） $$ \int_{0}^{\pi} \sqrt{1+\cos 2x} \,\mathrm{d}x $$ 利用恒等式 $1+\cos 2x = 2\cos^{2}x$，则： $$ \sqrt{1+\cos 2x} = \sqrt{2} |\cos x| $$ 在 $[0,\pi]$ 上，$\cos x \ge 0$ 当 $x\in[0,\frac{\pi}{2}]$，$\cos x \le 0$ 当 $x\in[\frac{\pi}{2},\pi]$，因此： $$ = \sqrt{2} \left( \int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \cos x \,\mathrm{d}x + \int_{\frac{\pi}{2}}^{\pi} (-\cos x) \,\mathrm{d}x \right) = \sqrt{2} \left( [\sin x]_{0}^{\frac{\pi}{2}} - [\sin x]_{\frac{\pi}{2}}^{\pi} \right) = \sqrt{2} \left( 1 - (0 - 1) \right) = 2\sqrt{2} $$
**难度：★★☆☆☆**
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### （9） $$ \int_{0}^{\frac{\pi}{2}} (1-\cos x)\sin^{2}x \,\mathrm{d}x $$ 展开： $$ = \int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \sin^{2}x \,\mathrm{d}x - \int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \cos x \sin^{2}x \,\mathrm{d}x $$ 第一项：$\int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \sin^{2}x \,\mathrm{d}x = \frac{\pi}{4}$ 第二项：令 $u = \sin x$，$\mathrm{d}u = \cos x \,\mathrm{d}x$，当 $x=0$ 时 $u=0$，$x=\frac{\pi}{2}$ 时 $u=1$： $$ = \int_{0}^{1} u^{2} \mathrm{d}u = \frac{1}{3} $$ 因此： $$ = \frac{\pi}{4} - \frac{1}{3} $$
**难度：★★☆☆☆**
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### （10） $$ \int_{\frac{1}{\pi}}^{\frac{2}{\pi}} \frac{1}{x^{2}} \sin\frac{1