📝 题目
10．计算 $\displaystyle{\int}_{0}^{1} x f(x) \mathrm{d} x$ ，其中 $f(x)=\displaystyle{\int}_{1}^{x^{2}} \frac{\sin t}{t} \mathrm{~d} t$ ．
💡 答案与解析
[AI解答]
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我们要求计算 $$ I = \int_{0}^{1} x f(x) \, dx, $$ 其中 $$ f(x) = \int_{1}^{x^{2}} \frac{\sin t}{t} \, dt. $$
**步骤1：代入并交换积分次序** 将 $ f(x) $ 代入 $ I $ 得： $$ I = \int_{0}^{1} x \left( \int_{1}^{x^{2}} \frac{\sin t}{t} \, dt \right) dx. $$ 积分区域由 $ 0 \le x \le 1 $ 和 $ 1 \le t \le x^{2} $ 确定。但注意，当 $ x \in [0,1] $ 时，$ x^{2} \le 1 $，因此 $ t $ 的上限小于下限，这表示积分方向是从 $ t=1 $ 到 $ t=x^{2} $，即实际积分区间是 $[x^{2}, 1]$ 但符号为负。我们可以改写为： $$ \int_{1}^{x^{2}} \frac{\sin t}{t} \, dt = - \int_{x^{2}}^{1} \frac{\sin t}{t} \, dt. $$ 于是 $$ I = -\int_{0}^{1} x \left( \int_{x^{2}}^{1} \frac{\sin t}{t} \, dt \right) dx. $$
**步骤2：交换积分次序** 现在积分区域为： $ x $ 从 0 到 1，对每个固定的 $ x $，$ t $ 从 $ x^{2} $ 到 1。 这等价于： $ t $ 从 0 到 1，对每个固定的 $ t $，$ x $ 从 0 到 $ \sqrt{t} $。 因此交换次序得： $$ I = -\int_{t=0}^{1} \frac{\sin t}{t} \left( \int_{x=0}^{\sqrt{t}} x \, dx \right) dt. $$
**步骤3：计算内层积分** $$ \int_{0}^{\sqrt{t}} x \, dx = \left[ \frac{x^{2}}{2} \right]_{0}^{\sqrt{t}} = \frac{t}{2}. $$
**步骤4：代入并计算** 于是 $$ I = -\int_{0}^{1} \frac{\sin t}{t} \cdot \frac{t}{2} \, dt = -\frac{1}{2} \int_{0}^{1} \sin t \, dt. $$ 计算得： $$ \int_{0}^{1} \sin t \, dt = [-\cos t]_{0}^{1} = -\cos 1 + \cos 0 = 1 - \cos 1. $$ 因此 $$ I = -\frac{1}{2} (1 - \cos 1) = \frac{\cos 1 - 1}{2}. $$
**最终结果**： $$ \boxed{\dfrac{\cos 1 - 1}{2}} $$
难度：★★☆☆☆