📝 题目
2．用定积分的换元法计算下列积分： （1） $\displaystyle{\int}_{1}^{5} \frac{\sqrt{x-1}}{x} \mathrm{~d} x$ ； （2） $\displaystyle{\int}_{0}^{4} \frac{\mathrm{~d} u}{1+\sqrt{u}}$ ； （3） $\displaystyle{\int}_{0}^{1} \frac{x^{2}}{\left(1+x^{2}\right)^{3}} \mathrm{~d} x$ ； （4） $\displaystyle{\int}_{0}^{2} \frac{1}{\sqrt{x+1}+\sqrt{(x+1)^{3}}} \mathrm{~d} x$ ； （5） $\displaystyle{\int}_{1}^{\sqrt{3}} \frac{1}{x^{2} \sqrt{1+x^{2}}} \mathrm{~d} x$ ； （6） $\displaystyle{\int}_{0}^{1} x^{2} \sqrt{1-x^{2}} \mathrm{~d} x$ ； （7） $\displaystyle{\int}_{-2}^{-1} \frac{\mathrm{~d} x}{x \sqrt{x^{2}-1}}$ ； （8） $\displaystyle{\int}_{1}^{2} \frac{\sqrt{x^{2}-1}}{x} \mathrm{~d} x$ ； （9） $\displaystyle{\int}_{0}^{1}\left(1+x^{2}\right)^{-\frac{3}{2}} \mathrm{~d} x$ ； （10） $\displaystyle{\int}_{\sqrt{\mathrm{e}}}^{\mathrm{e}} \frac{1}{x \sqrt{\ln x(1-\ln x)}} \mathrm{d} x($ 提示：令 $t=\ln x)$ ．
💡 答案与解析
[AI解答]
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以下为各小题的详细解答，均采用定积分的换元法。
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### （1） $$ \int_{1}^{5} \frac{\sqrt{x-1}}{x} \, dx $$ 令 $ t = \sqrt{x-1} $，则 $ x = t^2 + 1 $，$ dx = 2t \, dt $。 当 $ x = 1 $ 时 $ t = 0 $，当 $ x = 5 $ 时 $ t = 2 $。 原积分化为： $$ \int_{0}^{2} \frac{t}{t^2+1} \cdot 2t \, dt = 2\int_{0}^{2} \frac{t^2}{t^2+1} \, dt = 2\int_{0}^{2} \left(1 - \frac{1}{t^2+1}\right) dt = 2\left[ t - \arctan t \right]_{0}^{2} = 2\left(2 - \arctan 2\right) $$ **难度：★★☆☆☆**
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### （2） $$ \int_{0}^{4} \frac{du}{1+\sqrt{u}} $$ 令 $ t = \sqrt{u} $，则 $ u = t^2 $，$ du = 2t \, dt $。 当 $ u = 0 $ 时 $ t = 0 $，当 $ u = 4 $ 时 $ t = 2 $。 原积分化为： $$ \int_{0}^{2} \frac{2t}{1+t} \, dt = 2\int_{0}^{2} \frac{t}{1+t} \, dt = 2\int_{0}^{2} \left(1 - \frac{1}{1+t}\right) dt = 2\left[ t - \ln(1+t) \right]_{0}^{2} = 2\left(2 - \ln 3\right) $$ **难度：★★☆☆☆**
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### （3） $$ \int_{0}^{1} \frac{x^{2}}{(1+x^{2})^{3}} \, dx $$ 令 $ x = \tan t $，则 $ dx = \sec^2 t \, dt $，且 $ 1+x^2 = \sec^2 t $。 当 $ x = 0 $ 时 $ t = 0 $，当 $ x = 1 $ 时 $ t = \frac{\pi}{4} $。 原积分化为： $$ \int_{0}^{\frac{\pi}{4}} \frac{\tan^2 t}{\sec^6 t} \cdot \sec^2 t \, dt = \int_{0}^{\frac{\pi}{4}} \frac{\tan^2 t}{\sec^4 t} \, dt = \int_{0}^{\frac{\pi}{4}} \sin^2 t \cos^2 t \, dt = \frac{1}{4} \int_{0}^{\frac{\pi}{4}} \sin^2 2t \, dt $$ 利用 $\sin^2 2t = \frac{1 - \cos 4t}{2}$： $$ = \frac{1}{4} \int_{0}^{\frac{\pi}{4}} \frac{1 - \cos 4t}{2} \, dt = \frac{1}{8} \left[ t - \frac{\sin 4t}{4} \right]_{0}^{\frac{\pi}{4}} = \frac{1}{8} \left( \frac{\pi}{4} - 0 \right) = \frac{\pi}{32} $$ **难度：★★★☆☆**
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### （4） $$ \int_{0}^{2} \frac{1}{\sqrt{x+1} + \sqrt{(x+1)^3}} \, dx $$ 令 $ t = \sqrt{x+1} $，则 $ x = t^2 - 1 $，$ dx = 2t \, dt $。 当 $ x = 0 $ 时 $ t = 1 $，当 $ x = 2 $ 时 $ t = \sqrt{3} $。 原积分化为： $$ \int_{1}^{\sqrt{3}} \frac{2t}{t + t^3} \, dt = \int_{1}^{\sqrt{3}} \frac{2}{1 + t^2} \, dt = 2\left[ \arctan t \right]_{1}^{\sqrt{3}} = 2\left( \frac{\pi}{3} - \frac{\pi}{4} \right) = \frac{\pi}{6} $$ **难度：★★☆☆☆**
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### （5） $$ \int_{1}^{\sqrt{3}} \frac{1}{x^{2} \sqrt{1+x^{2}}} \, dx $$ 令 $ x = \tan t $，则 $ dx = \sec^2 t \, dt $，$\sqrt{1+x^2} = \sec t$。 当 $ x = 1 $ 时 $ t = \frac{\pi}{4} $，当 $ x = \sqrt{3} $ 时 $ t = \frac{\pi}{3} $。 原积分化为： $$ \int_{\frac{\pi}{4}}^{\frac{\pi}{3}} \frac{\sec^2 t}{\tan^2 t \cdot \sec t} \, dt = \int_{\frac{\pi}{4}}^{\frac{\pi}{3}} \frac{\sec t}{\tan^2 t} \, dt = \int_{\frac{\pi}{4}}^{\frac{\pi}{3}} \frac{\cos t}{\sin^2 t} \, dt $$ 令 $ u = \sin t $，则 $ du = \cos t \, dt $，当 $ t = \frac{\pi}{4} $ 时 $ u = \frac{\sqrt{2}}{2} $，当 $ t = \frac{\pi}{3} $ 时 $ u = \frac{\sqrt{3}}{2} $。 原积分化为： $$ \int_{\frac{\sqrt{2}}{2}}^{\frac{\sqrt{3}}{2}} \frac{1}{u^2} \, du = \left[ -\frac{1}{u} \right]_{\frac{\sqrt{2}}{2}}^{\frac{\sqrt{3}}{2}} = -\frac{2}{\sqrt{3}} + \frac{2}{\sqrt{2}} = \sqrt{2} - \frac{2\sqrt{3}}{3} $$ **难度：★★★☆☆**
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### （6） $$ \int_{0}^{1} x^{2} \sqrt{1-x^{2}} \, dx $$ 令 $ x = \sin t $，则 $ dx = \cos t \, dt $，$\sqrt{1-x^2} = \cos t$。 当 $ x = 0 $ 时 $ t = 0 $，当 $ x = 1 $ 时 $ t = \frac{\pi}{2} $。 原积分化为： $$ \int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \sin^2 t \cdot \cos t \cdot \cos t \, dt = \int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \sin^2 t \cos^2 t \, dt = \frac{1}{4} \int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \sin^2 2t \, dt $$ 利用 $\sin^2 2t = \frac{1 - \cos 4t}{2}$： $$ = \frac{1}{4} \int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \frac{1 - \cos 4t}{2} \, dt = \frac{1}{8} \left[ t - \frac{\sin 4t}{4} \right]_{0}^{\frac{\pi}{2}} = \frac{1}{8} \cdot \frac{\pi}{2} = \frac{\pi}{16} $$ **难度：★★★☆☆**
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### （7） $$ \int_{-2}^{-1} \frac{dx}{x \sqrt{x^{2}-1}} $$ 令 $ x = \sec t $，则 $ dx = \sec t \tan t \, dt $，$\sqrt{x^2-1} = \tan t$。 当 $ x = -2 $ 时 $ \sec t = -2 $，取 $ t = \frac{2\pi}{3} $；当 $ x = -1 $ 时 $ \sec t = -1 $，取 $ t = \pi $。 原积分化为： $$ \int_{\frac{2\pi}{3}}^{\pi} \frac{\sec t \tan t}{\sec t \cdot \tan t} \, dt = \int_{\frac{2\pi}{3}}^{\pi} 1 \, dt = \pi - \frac{2\pi}{3} = \frac{\pi}{3} $$ **难度：★★★☆☆**
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### （8） $$ \int_{1}^{2} \frac{\sqrt{x^{2}-1}}{x} \, dx