📝 题目
3．用定积分的分部积分法求下列积分： （1） $\displaystyle{\int}_{0}^{\mathrm{e}-1} \ln (x+1) \mathrm{d} x$ ； （2） $\displaystyle{\int}_{0}^{\frac{\sqrt{3}}{2}} \arccos x \mathrm{~d} x$ ； （3） $\displaystyle{\int}_{0}^{1} x \mathrm{e}^{-x} \mathrm{~d} x$ ； （4） $\displaystyle{\int}_{0}^{\frac{\pi}{2}} \arctan 2 x \mathrm{~d} x$ ； （5） $\displaystyle{\int}_{\frac{\pi}{4}}^{\frac{\pi}{3}} \frac{x}{\sin ^{2} x} \mathrm{~d} x$ ； （6） $\displaystyle{\int}_{0}^{2 \pi} \mathrm{e}^{2 x} \cos x \mathrm{~d} x$ ； （7） $\displaystyle{\int}_{0}^{1}(\arcsin x)^{2} \mathrm{~d} x$ ； （8） $\displaystyle{\int}_{0}^{\frac{\pi}{4}} \frac{x \mathrm{~d} x}{1+\cos 2 x}$ ； （9） $\displaystyle{\int}_{0}^{4} \cos (\sqrt{x}-1) \mathrm{d} x$ ； （10） $\displaystyle{\int}_{0}^{\frac{\pi}{8}} x \sin x \cos x \cos 2 x \mathrm{~d} x$ ； （11） $\displaystyle{\int}_{1}^{\mathrm{e}} \sin (\ln x) \mathrm{d} x$ ； （12） $\displaystyle{\int}_{0}^{3} \arcsin \sqrt{\frac{x}{1+x}} \mathrm{~d} x$ ； ＊（13）$J_{m}=\displaystyle{\int}_{0}^{\pi} x \sin ^{m} x \mathrm{~d} x\left(m \in \mathbf{Z}^{+}\right)$．
💡 答案与解析
[AI解答]
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以下是用定积分分部积分法求解各题的过程。
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### （1） $$ \int_{0}^{e-1} \ln(x+1) \, dx $$ 令 $ u = \ln(x+1) $，$ dv = dx $，则 $$ du = \frac{1}{x+1} dx,\quad v = x $$ 分部积分： $$ \int u\,dv = uv - \int v\,du $$ $$ = \left[ x\ln(x+1) \right]_{0}^{e-1} - \int_{0}^{e-1} \frac{x}{x+1} dx $$ 计算第一部分： $$ (e-1)\ln e - 0 = e-1 $$ 第二部分： $$ \frac{x}{x+1} = 1 - \frac{1}{x+1} $$ $$ \int_{0}^{e-1} \left(1 - \frac{1}{x+1}\right) dx = \left[ x - \ln(x+1) \right]_{0}^{e-1} = (e-1 - \ln e) - (0 - \ln 1) = e-2 $$ 所以结果为： $$ (e-1) - (e-2) = 1 $$ **答案：** $1$
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### （2） $$ \int_{0}^{\frac{\sqrt{3}}{2}} \arccos x \, dx $$ 令 $ u = \arccos x $，$ dv = dx $，则 $$ du = -\frac{1}{\sqrt{1-x^2}} dx,\quad v = x $$ 分部积分： $$ = \left[ x\arccos x \right]_{0}^{\frac{\sqrt{3}}{2}} + \int_{0}^{\frac{\sqrt{3}}{2}} \frac{x}{\sqrt{1-x^2}} dx $$ 第一部分： $$ \frac{\sqrt{3}}{2} \cdot \frac{\pi}{6} - 0 = \frac{\sqrt{3}\pi}{12} $$ 第二部分：令 $ t = 1-x^2 $，$ dt = -2x dx $，则 $$ \int \frac{x}{\sqrt{1-x^2}} dx = -\frac{1}{2} \int t^{-1/2} dt = -\sqrt{1-x^2} $$ 代入上下限： $$ \left[ -\sqrt{1-x^2} \right]_{0}^{\frac{\sqrt{3}}{2}} = -\frac12 + 1 = \frac12 $$ 结果为： $$ \frac{\sqrt{3}\pi}{12} + \frac12 $$ **答案：** $\displaystyle \frac{\sqrt{3}\pi}{12} + \frac12$
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### （3） $$ \int_{0}^{1} x e^{-x} dx $$ 令 $ u = x $，$ dv = e^{-x} dx $，则 $$ du = dx,\quad v = -e^{-x} $$ 分部积分： $$ = \left[ -x e^{-x} \right]_{0}^{1} + \int_{0}^{1} e^{-x} dx = -e^{-1} + \left[ -e^{-x} \right]_{0}^{1} = -\frac1e - \left( e^{-1} - 1 \right) = 1 - \frac{2}{e} $$ **答案：** $\displaystyle 1 - \frac{2}{e}$
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### （4） $$ \int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \arctan(2x) dx $$ 令 $ u = \arctan(2x) $，$ dv = dx $，则 $$ du = \frac{2}{1+4x^2} dx,\quad v = x $$ 分部积分： $$ = \left[ x\arctan(2x) \right]_{0}^{\frac{\pi}{2}} - \int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \frac{2x}{1+4x^2} dx $$ 第一部分： $$ \frac{\pi}{2} \cdot \arctan(\pi) - 0 = \frac{\pi}{2} \arctan \pi $$ 第二部分：令 $ t = 1+4x^2 $，$ dt = 8x dx $，则 $$ \int \frac{2x}{1+4x^2} dx = \frac14 \ln(1+4x^2) $$ 代入上下限： $$ \frac14 \left[ \ln(1+4x^2) \right]_{0}^{\frac{\pi}{2}} = \frac14 \ln(1+\pi^2) $$ 结果为： $$ \frac{\pi}{2} \arctan \pi - \frac14 \ln(1+\pi^2) $$ **答案：** $\displaystyle \frac{\pi}{2} \arctan \pi - \frac14 \ln(1+\pi^2)$
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### （5） $$ \int_{\frac{\pi}{4}}^{\frac{\pi}{3}} \frac{x}{\sin^2 x} dx $$ 令 $ u = x $，$ dv = \csc^2 x dx $，则 $$ du = dx,\quad v = -\cot x $$ 分部积分： $$ = \left[ -x \cot x \right]_{\frac{\pi}{4}}^{\frac{\pi}{3}} + \int_{\frac{\pi}{4}}^{\frac{\pi}{3}} \cot x dx $$ 第一部分： $$ -\frac{\pi}{3} \cdot \frac{1}{\sqrt{3}} + \frac{\pi}{4} \cdot 1 = -\frac{\pi}{3\sqrt{3}} + \frac{\pi}{4} $$ 第二部分： $$ \int \cot x dx = \ln|\sin x| $$ 代入上下限： $$ \ln(\sin\frac{\pi}{3}) - \ln(\sin\frac{\pi}{4}) = \ln\frac{\sqrt{3}}{2} - \ln\frac{\sqrt{2}}{2} = \ln\sqrt{\frac{3}{2}} = \frac12 \ln\frac{3}{2} $$ 结果为： $$ \frac{\pi}{4} - \frac{\pi}{3\sqrt{3}} + \frac12 \ln\frac{3}{2} $$ **答案：** $\displaystyle \frac{\pi}{4} - \frac{\pi}{3\sqrt{3}} + \frac12 \ln\frac{3}{2}$
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### （6） $$ \int_{0}^{2\pi} e^{2x} \cos x dx $$ 令 $ I = \int e^{2x} \cos x dx $，分部积分两次： 第一次：$ u = e^{2x} $，$ dv = \cos x dx $，得 $$ I = e^{2x} \sin x - \int 2 e^{2x} \sin x dx $$ 第二次：对 $ \int e^{2x} \sin x dx $，令 $ u = e^{2x} $，$ dv = \sin x dx $，得 $$ \int e^{2x} \sin x dx = -e^{2x} \cos x + \int 2 e^{2x} \cos x dx = -e^{2x} \cos x + 2I $$ 代入： $$ I = e^{2x} \sin x - 2(-e^{2x} \cos x + 2I) = e^{2x} \sin x + 2 e^{2x} \cos x - 4I $$ 所以 $$ 5I = e^{2x}(\sin x + 2\cos x) \quad\Rightarrow\quad I = \frac{e^{2x}}{5}(\sin x + 2\cos x) $$ 代入上下限： $$ \frac{e^{4\pi}}{5}(\sin 2\pi + 2\cos 2\pi) - \frac{1}{5}(\sin 0 + 2\cos 0) = \frac{e^{4\pi}}{5}(0+2) - \frac{1}{5}(0+2) = \frac{2(e^{4\pi} - 1)}{5} $$ **答案：** $\displaystyle \frac{2(e^{4\pi} - 1)}{5}$
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### （7） $$ \int_{0}^{1} (\arcsin x)^2 dx $$ 令 $ u = (\arcsin x)^2 $，$ dv = dx $，则 $$ du = \frac{2\arcsin x}{\sqrt{1-x^2}} dx,\quad v = x $$ 分部积分： $$ = \left[ x(\arcsin x)^2 \right]_{0}^{1} - 2\int_{0