📝 题目
4．计算下列定积分： （1） $\displaystyle{\int}_{-1}^{1}\left(\frac{x \sin ^{4} x}{1+x^{8}}+3 x^{2}|x|\right) \mathrm{d} x$ ； （2） $\displaystyle{\int}_{-2}^{2} \max \left\{1, x^{2}\right\} \mathrm{d} x$ ； （3） $\displaystyle{\int}_{1}^{4}\left|t^{2}-3 t+2\right| \mathrm{d} t$ ； （4） $\displaystyle{\int}_{-\frac{1}{2}}^{\frac{1}{2}} \sqrt{\ln ^{2}(1-x)} \mathrm{d} x$ ； （5） $\displaystyle{\int}_{0}^{n \pi} \sqrt{1-\sin 2 x} \mathrm{~d} x$ ； （6） $\displaystyle{\int}_{0}^{\pi} \frac{x \sin x}{1+\cos ^{2} x} \mathrm{~d} x$ ．
💡 答案与解析
[AI解答]
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### （1） $$ I_1 = \displaystyle{\int}_{-1}^{1}\left(\frac{x \sin ^{4} x}{1+x^{8}}+3 x^{2}|x|\right) \mathrm{d} x $$
第一项 $\frac{x \sin^4 x}{1+x^8}$ 是奇函数（分子奇，分母偶），在对称区间积分为零。 第二项 $3x^2|x|$ 是偶函数，故 $$ I_1 = 2 \displaystyle{\int}_0^1 3x^2 \cdot x \, \mathrm{d}x = 6 \displaystyle{\int}_0^1 x^3 \, \mathrm{d}x = 6 \cdot \frac{1}{4} = \frac{3}{2} $$
**答案**：$\displaystyle \frac{3}{2}$
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### （2） $$ I_2 = \displaystyle{\int}_{-2}^{2} \max\{1, x^2\} \mathrm{d}x $$
当 $|x| \le 1$ 时，$\max=1$；当 $1 \le |x| \le 2$ 时，$\max=x^2$。 函数为偶函数，故 $$ I_2 = 2\left( \displaystyle{\int}_0^1 1 \, \mathrm{d}x + \displaystyle{\int}_1^2 x^2 \, \mathrm{d}x \right) = 2\left(1 + \left[\frac{x^3}{3}\right]_1^2\right) = 2\left(1 + \frac{8}{3} - \frac{1}{3}\right) = 2\left(1 + \frac{7}{3}\right) = 2 \cdot \frac{10}{3} = \frac{20}{3} $$
**答案**：$\displaystyle \frac{20}{3}$
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### （3） $$ I_3 = \displaystyle{\int}_{1}^{4} |t^2 - 3t + 2| \, \mathrm{d}t $$
因式分解：$t^2 - 3t + 2 = (t-1)(t-2)$。 在区间 $[1,2]$ 上为负，在 $[2,4]$ 上为正。 因此 $$ I_3 = \displaystyle{\int}_1^2 -(t^2-3t+2) \, \mathrm{d}t + \displaystyle{\int}_2^4 (t^2-3t+2) \, \mathrm{d}t $$
先计算 $$ \displaystyle{\int} (t^2-3t+2) \, \mathrm{d}t = \frac{t^3}{3} - \frac{3t^2}{2} + 2t $$
第一部分： $$ \left[-\frac{t^3}{3} + \frac{3t^2}{2} - 2t\right]_1^2 = \left(-\frac{8}{3} + 6 - 4\right) - \left(-\frac{1}{3} + \frac{3}{2} - 2\right) = \left(-\frac{8}{3} + 2\right) - \left(-\frac{1}{3} - \frac{1}{2}\right) = \left(-\frac{2}{3}\right) - \left(-\frac{5}{6}\right) = \frac{1}{6} $$
第二部分： $$ \left[\frac{t^3}{3} - \frac{3t^2}{2} + 2t\right]_2^4 = \left(\frac{64}{3} - 24 + 8\right) - \left(\frac{8}{3} - 6 + 4\right) = \left(\frac{64}{3} - 16\right) - \left(\frac{8}{3} - 2\right) = \frac{16}{3} - \frac{2}{3} = \frac{14}{3} $$
相加得 $$ I_3 = \frac{1}{6} + \frac{14}{3} = \frac{1}{6} + \frac{28}{6} = \frac{29}{6} $$
**答案**：$\displaystyle \frac{29}{6}$
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### （4） $$ I_4 = \displaystyle{\int}_{-\frac12}^{\frac12} \sqrt{\ln^2(1-x)} \, \mathrm{d}x $$
注意 $\sqrt{\ln^2(1-x)} = |\ln(1-x)|$。 在区间 $[-1/2, 1/2]$ 上，$1-x > 0$，且当 $x<0$ 时 $\ln(1-x) > 0$，当 $x>0$ 时 $\ln(1-x) < 0$。 因此 $$ I_4 = \displaystyle{\int}_{-1/2}^{0} \ln(1-x) \, \mathrm{d}x + \displaystyle{\int}_{0}^{1/2} -\ln(1-x) \, \mathrm{d}x $$
计算 $$ \displaystyle{\int} \ln(1-x) \, \mathrm{d}x = -(1-x)\ln(1-x) - x + C $$
第一部分： $$ \left[-(1-x)\ln(1-x) - x\right]_{-1/2}^0 = \left(-1\cdot 0 - 0\right) - \left(-\frac{3}{2}\ln\frac{3}{2} + \frac12\right) = \frac{3}{2}\ln\frac{3}{2} - \frac12 $$
第二部分： $$ -\left[-(1-x)\ln(1-x) - x\right]_{0}^{1/2} = \left[(1-x)\ln(1-x) + x\right]_{0}^{1/2} = \left(\frac12 \ln\frac12 + \frac12\right) - (1\cdot 0 + 0) = \frac12\ln\frac12 + \frac12 $$
相加得 $$ I_4 = \frac{3}{2}\ln\frac{3}{2} - \frac12 + \frac12\ln\frac12 + \frac12 = \frac{3}{2}\ln\frac{3}{2} + \frac12\ln\frac12 = \frac12\left(3\ln\frac{3}{2} + \ln\frac12\right) = \frac12 \ln\left( \frac{27}{8} \cdot \frac12 \right) = \frac12 \ln\frac{27}{16} $$
**答案**：$\displaystyle \frac12 \ln\frac{27}{16}$
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### （5） $$ I_5 = \displaystyle{\int}_{0}^{n\pi} \sqrt{1-\sin 2x} \, \mathrm{d}x $$
利用恒等式： $$ 1 - \sin 2x = (\sin x - \cos x)^2 $$ 故 $$ \sqrt{1-\sin 2x} = |\sin x - \cos x| $$
周期为 $\pi$，在一个周期 $[0,\pi]$ 上： 当 $x\in[0,\pi/4]$ 时 $\sin x \le \cos x$，差为负； 当 $x\in[\pi/4, \pi]$ 时 $\sin x \ge \cos x$，差为正。
因此 $$ \displaystyle{\int}_0^\pi |\sin x - \cos x| \, \mathrm{d}x = \displaystyle{\int}_0^{\pi/4} (\cos x - \sin x) \, \mathrm{d}x + \displaystyle{\int}_{\pi/4}^{\pi} (\sin x - \cos x) \, \mathrm{d}x $$
计算： $$ \int (\cos x - \sin x) \, \mathrm{d}x = \sin x + \cos x $$ 第一部分： $$ \left[\sin x + \cos x\right]_0^{\pi/4} = \left(\frac{\sqrt2}{2} + \frac{\sqrt2}{2}\right) - (0+1) = \sqrt2 - 1 $$
第二部分： $$ \int (\sin x - \cos x) \, \mathrm{d}x = -\cos x - \sin x $$ $$ \left[-\cos x - \sin x\right]_{\pi/4}^{\pi} = \left(-(-1) - 0\right) - \left(-\frac{\sqrt2}{2} - \frac{\sqrt2}{2}\right) = 1 - (-\sqrt2) = 1 + \sqrt2 $$
一个周期积分值为 $(\sqrt2 - 1) + (1 + \sqrt2) = 2\sqrt2$。 区间长度为 $n\pi$，共 $n$ 个周期，故 $$ I_5 = n \cdot 2\sqrt2 = 2n\sqrt2 $$
**答案**：$\displaystyle 2n\sqrt2$
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### （6） $$ I