📝 题目
5．设 $f^{\prime \prime}(x)$ 在 $[0,1]$ 上连续，且 $f(0)=1, f(2)=3, f^{\prime}(2)=5$ ，求 $\displaystyle{\int}_{0}^{1} x f^{\prime \prime}(2 x) \mathrm{d} x$ ．
💡 答案与解析
[AI解答]
[AI解答]
我们要求解： $$ I = \int_{0}^{1} x f''(2x) \, dx $$
已知条件： - $ f''(x) $ 在 $[0,1]$ 上连续（实际上由题意，这里应该是在包含2的区间上连续，但条件给出在[0,1]上连续，我们按题目条件处理，注意自变量代换后要小心定义域） - $ f(0) = 1, f(2) = 3, f'(2) = 5 $
**第一步：变量代换** 令 $$ t = 2x \quad \Rightarrow \quad x = \frac{t}{2}, \quad dx = \frac{dt}{2} $$ 当 $ x = 0 $ 时，$ t = 0 $；当 $ x = 1 $ 时，$ t = 2 $。于是积分变为： $$ I = \int_{0}^{2} \frac{t}{2} \cdot f''(t) \cdot \frac{dt}{2} = \frac{1}{4} \int_{0}^{2} t f''(t) \, dt $$
**第二步：分部积分** 令 $$ u = t, \quad dv = f''(t) dt $$ 则 $$ du = dt, \quad v = f'(t) $$ 分部积分公式： $$ \int_{0}^{2} t f''(t) dt = \left[ t f'(t) \right]_{0}^{2} - \int_{0}^{2} f'(t) dt $$
**第三步：计算边界项** $$ \left[ t f'(t) \right]_{0}^{2} = 2 f'(2) - 0 \cdot f'(0) = 2 \cdot 5 = 10 $$ （注意 $ f'(0) $ 未知，但乘以0后不影响结果）
**第四步：计算剩余积分** $$ \int_{0}^{2} f'(t) dt = f(2) - f(0) = 3 - 1 = 2 $$
**第五步：代入结果** $$ \int_{0}^{2} t f''(t) dt = 10 - 2 = 8 $$ 因此： $$ I = \frac{1}{4} \times 8 = 2 $$
最终答案为： $$ \boxed{2} $$
难度评级：★★☆☆☆ （主要考察变量代换和分部积分，思路直接，计算量小）