📝 题目
6．已知 $\displaystyle{\int}_{x}^{2 \ln 2} \frac{\mathrm{~d} t}{\sqrt{\mathrm{e}^{t}-1}}=\frac{\pi}{6}$ ，求 $x$ ．
💡 答案与解析
[AI解答]
[AI解答] 已知 $$ \int_{x}^{2\ln 2} \frac{dt}{\sqrt{e^{t}-1}} = \frac{\pi}{6} $$ 要求出 $x$ 的值。
**第一步：换元化简积分** 令 $$ u = \sqrt{e^{t} - 1} \quad\Rightarrow\quad u^{2} = e^{t} - 1 $$ 则 $$ e^{t} = u^{2} + 1, \quad t = \ln(u^{2} + 1) $$ 两边微分得 $$ dt = \frac{2u}{u^{2}+1}\, du $$ 同时，被积函数分母 $\sqrt{e^{t} - 1} = u$，于是 $$ \frac{dt}{\sqrt{e^{t} - 1}} = \frac{2u}{u^{2}+1} \cdot \frac{1}{u}\, du = \frac{2}{u^{2}+1}\, du $$
**第二步：换积分限** 当 $t = x$ 时，$u = \sqrt{e^{x} - 1}$； 当 $t = 2\ln 2$ 时， $$ e^{2\ln 2} = (e^{\ln 2})^{2} = 2^{2} = 4 $$ 所以 $u = \sqrt{4 - 1} = \sqrt{3}$。
原积分变为 $$ \int_{\sqrt{e^{x} - 1}}^{\sqrt{3}} \frac{2}{u^{2}+1}\, du = \frac{\pi}{6} $$
**第三步：计算定积分** $$ \int \frac{2}{u^{2}+1}\, du = 2\arctan u + C $$ 因此 $$ \left[ 2\arctan u \right]_{\sqrt{e^{x} - 1}}^{\sqrt{3}} = \frac{\pi}{6} $$ 即 $$ 2\arctan(\sqrt{3}) - 2\arctan\left(\sqrt{e^{x} - 1}\right) = \frac{\pi}{6} $$
**第四步：代入已知值并解方程** 因为 $\arctan(\sqrt{3}) = \frac{\pi}{3}$，所以 $$ 2\cdot\frac{\pi}{3} - 2\arctan\left(\sqrt{e^{x} - 1}\right) = \frac{\pi}{6} $$ $$ \frac{2\pi}{3} - \frac{\pi}{6} = 2\arctan\left(\sqrt{e^{x} - 1}\right) $$ $$ \frac{4\pi}{6} - \frac{\pi}{6} = \frac{3\pi}{6} = \frac{\pi}{2} $$ 于是 $$ 2\arctan\left(\sqrt{e^{x} - 1}\right) = \frac{\pi}{2} $$ $$ \arctan\left(\sqrt{e^{x} - 1}\right) = \frac{\pi}{4} $$
**第五步：求 $x$** 由 $\arctan(1) = \frac{\pi}{4}$，得 $$ \sqrt{e^{x} - 1} = 1 $$ $$ e^{x} - 1 = 1 \quad\Rightarrow\quad e^{x} = 2 $$ $$ x = \ln 2 $$
**最终答案** $$ \boxed{x = \ln 2} $$
难度：★★☆☆☆