📝 题目
7．已知 $f(x)$ 满足方程
$$ f(x)=3 x-\sqrt{1-x^{2}} \displaystyle{\int}_{0}^{1} f^{2}(x) \mathrm{d} x $$
求 $f(x)$ 。
💡 答案与解析
[AI解答]
[AI解答] 我们已知 $$ f(x)=3x-\sqrt{1-x^{2}}\displaystyle{\int}_{0}^{1} f^{2}(x) \mathrm{d} x $$ 令 $$ A = \displaystyle{\int}_{0}^{1} f^{2}(x) \mathrm{d} x $$ 则原方程化为 $$ f(x) = 3x - A\sqrt{1-x^{2}} $$
接下来两边平方并在 $[0,1]$ 上积分： $$ A = \displaystyle{\int}_{0}^{1} \left(3x - A\sqrt{1-x^{2}}\right)^{2} \mathrm{d} x $$ 展开平方项： $$ (3x - A\sqrt{1-x^{2}})^2 = 9x^{2} - 6A x\sqrt{1-x^{2}} + A^{2}(1-x^{2}) $$ 于是 $$ A = 9\displaystyle{\int}_{0}^{1} x^{2} \mathrm{d} x - 6A \displaystyle{\int}_{0}^{1} x\sqrt{1-x^{2}} \mathrm{d} x + A^{2} \displaystyle{\int}_{0}^{1} (1-x^{2}) \mathrm{d} x $$
分别计算积分： 1. $\displaystyle{\int}_{0}^{1} x^{2} \mathrm{d} x = \frac{1}{3}$ 2. $\displaystyle{\int}_{0}^{1} x\sqrt{1-x^{2}} \mathrm{d} x$，令 $t=1-x^{2}$，则 $\mathrm{d}t = -2x\mathrm{d}x$，当 $x=0$ 时 $t=1$，$x=1$ 时 $t=0$，于是 $$ \displaystyle{\int}_{0}^{1} x\sqrt{1-x^{2}} \mathrm{d} x = \displaystyle{\int}_{1}^{0} \sqrt{t} \left(-\frac{1}{2}\right) \mathrm{d} t = \frac{1}{2}\displaystyle{\int}_{0}^{1} t^{1/2} \mathrm{d} t = \frac{1}{2}\cdot \frac{2}{3} = \frac{1}{3} $$ 3. $\displaystyle{\int}_{0}^{1} (1-x^{2}) \mathrm{d} x = \left[ x - \frac{x^{3}}{3} \right]_{0}^{1} = 1 - \frac{1}{3} = \frac{2}{3}$
代入得 $$ A = 9\cdot\frac{1}{3} - 6A\cdot\frac{1}{3} + A^{2}\cdot\frac{2}{3} $$ 即 $$ A = 3 - 2A + \frac{2}{3}A^{2} $$ 移项整理： $$ A + 2A - 3 = \frac{2}{3}A^{2} $$ $$ 3A - 3 = \frac{2}{3}A^{2} $$ 两边乘以3： $$ 9A - 9 = 2A^{2} $$ 即 $$ 2A^{2} - 9A + 9 = 0 $$ 解得 $$ A = \frac{9 \pm \sqrt{81 - 72}}{4} = \frac{9 \pm 3}{4} $$ 所以 $$ A = 3 \quad \text{或} \quad A = \frac{3}{2} $$
由于 $f(x)=3x - A\sqrt{1-x^{2}}$，且 $A$ 是 $f^2$ 的积分，必须非负，两个解都非负，但需检验是否自洽。 若 $A=3$，则 $$ f(x)=3x - 3\sqrt{1-x^{2}} $$ 平方积分： $$ \int_0^1 (3x-3\sqrt{1-x^{2}})^2 dx = 9\int_0^1 (x-\sqrt{1-x^{2}})^2 dx $$ 展开： $$ =9\int_0^1 (x^2 -2x\sqrt{1-x^{2}} + 1-x^{2})dx = 9\int_0^1 (1 - 2x\sqrt{1-x^{2}})dx $$ 而 $\int_0^1 1 dx =1$，$\int_0^1 2x\sqrt{1-x^{2}}dx = 2\cdot\frac{1}{3}=\frac{2}{3}$，所以积分值为 $9(1-\frac{2}{3})=3$，自洽。
若 $A=\frac{3}{2}$，则 $$ f(x)=3x - \frac{3}{2}\sqrt{1-x^{2}} $$ 平方积分： $$ \int_0^1 \left(3x - \frac{3}{2}\sqrt{1-x^{2}}\right)^2 dx = \int_0^1 \left(9x^2 - 9x\sqrt{1-x^{2}} + \frac{9}{4}(1-x^{2})\right)dx $$ 计算： $9\int_0^1 x^2 dx = 3$， $-9\int_0^1 x\sqrt{1-x^{2}}dx = -9\cdot\frac{1}{3} = -3$， $\frac{9}{4}\int_0^1 (1-x^{2})dx = \frac{9}{4}\cdot\frac{2}{3} = \frac{3}{2}$， 总和为 $3 - 3 + \frac{3}{2} = \frac{3}{2}$，也自洽。
因此两个解均成立。
最终答案为 $$ \boxed{f(x)=3x-3\sqrt{1-x^{2}}\quad\text{或}\quad f(x)=3x-\frac{3}{2}\sqrt{1-x^{2}}} $$
难度：★★☆☆☆