📝 题目
8．求函数 $I(x)=\displaystyle{\int}_{1}^{x} t(1+2 \ln t) \mathrm{d} t$ 在 $[1, \mathrm{e}]$ 上的最大值与最小值．
💡 答案与解析
[AI解答]
[AI解答]
首先，我们计算积分表达式。 被积函数为 $ t(1+2\ln t) $，其原函数可以通过分部积分或直接观察得到。 注意到： $$ \frac{d}{dt} \left( t^2 \ln t \right) = 2t \ln t + t $$ 而我们需要的是 $ t + 2t\ln t $，正好就是上式。因此： $$ \int t(1+2\ln t) \, dt = t^2 \ln t + C $$ 于是： $$ I(x) = \int_{1}^{x} t(1+2\ln t) \, dt = \left[ t^2 \ln t \right]_{1}^{x} $$ 在 $ t=1 $ 时，$ 1^2 \ln 1 = 0 $，所以： $$ I(x) = x^2 \ln x $$ 定义域为 $[1, e]$。
接下来求最值。先求导数： $$ I'(x) = \frac{d}{dx}(x^2 \ln x) = 2x \ln x + x = x(2\ln x + 1) $$ 令 $ I'(x) = 0 $，在区间内： $$ x(2\ln x + 1) = 0 \quad\Rightarrow\quad 2\ln x + 1 = 0 \quad\Rightarrow\quad \ln x = -\frac{1}{2} \quad\Rightarrow\quad x = e^{-1/2} $$ 但 $ e^{-1/2} \approx 0.6065 < 1 $，不在区间 $[1, e]$ 内。因此在区间内部没有驻点。
所以最值只可能在端点取得： $$ I(1) = 1^2 \ln 1 = 0 $$ $$ I(e) = e^2 \ln e = e^2 \cdot 1 = e^2 $$ 由于 $ I(x) = x^2 \ln x $ 在 $[1, e]$ 上导数 $ I'(x) = x(2\ln x + 1) \ge 1 \cdot (0+1) > 0 $（因为 $\ln x \ge 0$），函数单调递增。
因此： - 最小值：$ I(1) = 0 $ - 最大值：$ I(e) = e^2 $
最终答案为： $$ \boxed{\text{最小值 }0,\ \text{最大值 }e^2} $$
难度：★☆☆☆☆