📝 题目
2．求拖物线 $y=-x^{2}+4 x-3$ 及其在点 $(0,-3)$ 和（ 3,0 ）处的切线所围平面图形的面积．
💡 答案与解析
[AI解答]
[AI解答] 首先，已知抛物线方程为 $$ y = -x^{2} + 4x - 3. $$ 求导得 $$ y' = -2x + 4. $$
在点 $(0, -3)$ 处，斜率 $$ k_1 = y'(0) = 4, $$ 切线方程为 $$ y + 3 = 4(x - 0) \quad\Rightarrow\quad y = 4x - 3. $$
在点 $(3, 0)$ 处，斜率 $$ k_2 = y'(3) = -2\cdot 3 + 4 = -2, $$ 切线方程为 $$ y - 0 = -2(x - 3) \quad\Rightarrow\quad y = -2x + 6. $$
现在求两条切线的交点： 解 $$ 4x - 3 = -2x + 6 \quad\Rightarrow\quad 6x = 9 \quad\Rightarrow\quad x = \frac{3}{2}, $$ 代入得 $$ y = 4\cdot\frac{3}{2} - 3 = 6 - 3 = 3. $$ 所以交点为 $\left(\frac{3}{2}, 3\right)$。
所求图形是由抛物线及两条切线围成的封闭区域。 在 $x$ 从 $0$ 到 $\frac{3}{2}$ 区间，上方是切线 $y = 4x - 3$，下方是抛物线； 在 $x$ 从 $\frac{3}{2}$ 到 $3$ 区间，上方是切线 $y = -2x + 6$，下方是抛物线。
因此面积为 $$ \begin{aligned} S &= \displaystyle\int_{0}^{\frac{3}{2}} \left[(4x - 3) - (-x^{2}+4x-3)\right]\,dx + \displaystyle\int_{\frac{3}{2}}^{3} \left[(-2x+6) - (-x^{2}+4x-3)\right]\,dx. \end{aligned} $$
化简第一个被积函数： $$ (4x-3) - (-x^{2}+4x-3) = 4x-3 + x^{2} - 4x + 3 = x^{2}. $$
化简第二个被积函数： $$ (-2x+6) - (-x^{2}+4x-3) = -2x+6 + x^{2} - 4x + 3 = x^{2} - 6x + 9 = (x-3)^{2}. $$
于是 $$ S = \displaystyle\int_{0}^{\frac{3}{2}} x^{2}\,dx + \displaystyle\int_{\frac{3}{2}}^{3} (x-3)^{2}\,dx. $$
计算： $$ \displaystyle\int_{0}^{\frac{3}{2}} x^{2}\,dx = \left[\frac{x^{3}}{3}\right]_{0}^{\frac{3}{2}} = \frac{1}{3}\left(\frac{27}{8}\right) = \frac{9}{8}. $$
第二个积分令 $u = x-3$，当 $x=\frac{3}{2}$ 时 $u = -\frac{3}{2}$，当 $x=3$ 时 $u=0$， $$ \displaystyle\int_{\frac{3}{2}}^{3} (x-3)^{2}\,dx = \displaystyle\int_{-\frac{3}{2}}^{0} u^{2}\,du = \left[\frac{u^{3}}{3}\right]_{-\frac{3}{2}}^{0} = 0 - \frac{1}{3}\left(-\frac{27}{8}\right) = \frac{9}{8}. $$
所以总面积 $$ S = \frac{9}{8} + \frac{9}{8} = \frac{9}{4}. $$
因此，所求平面图形的面积为 $\displaystyle\frac{9}{4}$。
难度：★★☆☆☆