📝 题目
4．求下列旋转体的体积： （1）曲线 $y=\sqrt{x}$ 与直线 $x=1, x=4$ 和 $x$ 轴所围成的平面图形绕 $x$ 轴和 $y$ 轴旋转而得的旋转体； （2）曲线 $y=\mathrm{e}^{-x}$ 与直线 $y=0, x=1$ 所围成的位于第一象限内的平面图形绕 $x$ 轴旋转而得的旋转体； （3）曲线 $y=\sin x$ 和 $y=\cos x$ 与 $x$ 轴在区间 $\left[0, \frac{\pi}{2}\right]$ 上所围成的平面图形绕 $x$ 轴旋转而得的旋转体； （4）曲线 $y=x^{2}$ 和 $x=y^{2}$ 所围成的平面图形分别绕 $x$ 轴和 $y$ 轴旋转而得的旋转体； （5）曲线 $y=x^{2}$ 和 $y=2-x^{2}$ 所围成的平面图形绕 $x$ 轴旋转而得的旋转体； （6）已知抛物线 $y^{2}=8 x$ ，求 （1）抛物线在点 $(2,4)$ 处的法线方程， （2）抛物线 $y \geqslant 0$ 的部分及其在 $(2,4)$ 处的法线和 $x$ 轴所围成图形绕 $y$ 轴旋转而得的旋转体； （7）试用两种方法计算由 $y=(x-1)(x-2)$ 和 $y=0$ 所围成的平面图形绕 $y$ 轴旋转而得的旋转体。
💡 答案与解析
[AI解答]
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**习题3-7 第4题解答**
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### (1) 曲线 $y=\sqrt{x}$ 与直线 $x=1, x=4$ 和 $x$ 轴所围图形
**绕 $x$ 轴旋转** 使用圆盘法： $$ V_x = \pi \displaystyle{\int_{1}^{4}} [\sqrt{x}]^2 \,dx = \pi \displaystyle{\int_{1}^{4}} x \,dx = \pi \left[ \frac{x^2}{2} \right]_{1}^{4} = \pi \left( \frac{16}{2} - \frac{1}{2} \right) = \frac{15\pi}{2} $$
**绕 $y$ 轴旋转** 将曲线改写为 $x = y^2$，$y$ 从 $0$ 到 $2$（因为 $x=1$ 时 $y=1$，$x=4$ 时 $y=2$），但注意图形在 $x$ 方向是从 $x=1$ 到 $x=4$，用柱壳法更方便： $$ V_y = 2\pi \displaystyle{\int_{1}^{4}} x \cdot \sqrt{x} \,dx = 2\pi \displaystyle{\int_{1}^{4}} x^{3/2} \,dx = 2\pi \left[ \frac{2}{5} x^{5/2} \right]_{1}^{4} = 2\pi \cdot \frac{2}{5} (32 - 1) = \frac{124\pi}{5} $$
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### (2) 曲线 $y=e^{-x}$ 与 $y=0, x=1$ 所围第一象限图形绕 $x$ 轴
旋转体体积： $$ V = \pi \displaystyle{\int_{0}^{1}} (e^{-x})^2 \,dx = \pi \displaystyle{\int_{0}^{1}} e^{-2x} \,dx = \pi \left[ -\frac{1}{2} e^{-2x} \right]_{0}^{1} = \frac{\pi}{2}(1 - e^{-2}) $$
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### (3) 曲线 $y=\sin x$ 和 $y=\cos x$ 与 $x$ 轴在 $[0,\frac{\pi}{2}]$ 所围图形绕 $x$ 轴
在 $[0,\frac{\pi}{4}]$ 上 $\cos x \ge \sin x$，在 $[\frac{\pi}{4},\frac{\pi}{2}]$ 上 $\sin x \ge \cos x$，图形由两曲线与 $x$ 轴围成，实际是两曲线之间的区域旋转。 体积为两曲线各自旋转体体积之差： $$ V = \pi \displaystyle{\int_{0}^{\pi/4}} (\cos^2 x - \sin^2 x) \,dx + \pi \displaystyle{\int_{\pi/4}^{\pi/2}} (\sin^2 x - \cos^2 x) \,dx $$ 注意 $\cos^2 x - \sin^2 x = \cos 2x$，且 $\sin^2 x - \cos^2 x = -\cos 2x$，所以： $$ V = \pi \displaystyle{\int_{0}^{\pi/4}} \cos 2x \,dx + \pi \displaystyle{\int_{\pi/4}^{\pi/2}} (-\cos 2x) \,dx $$ $$ = \pi \left[ \frac{\sin 2x}{2} \right]_{0}^{\pi/4} - \pi \left[ \frac{\sin 2x}{2} \right]_{\pi/4}^{\pi/2} = \pi \cdot \frac{1}{2} - \pi \left( 0 - \frac{1}{2} \right) = \frac{\pi}{2} + \frac{\pi}{2} = \pi $$
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### (4) 曲线 $y=x^2$ 和 $x=y^2$ 所围图形
两曲线交点为 $(0,0)$ 和 $(1,1)$。
**绕 $x$ 轴旋转**： $$ V_x = \pi \displaystyle{\int_{0}^{1}} \left[ (\sqrt{x})^2 - (x^2)^2 \right] dx = \pi \displaystyle{\int_{0}^{1}} (x - x^4) \,dx = \pi \left[ \frac{x^2}{2} - \frac{x^5}{5} \right]_{0}^{1} = \pi \left( \frac{1}{2} - \frac{1}{5} \right) = \frac{3\pi}{10} $$
**绕 $y$ 轴旋转**： 对称性，同样可得： $$ V_y = \pi \displaystyle{\int_{0}^{1}} \left[ (\sqrt{y})^2 - (y^2)^2 \right] dy = \frac{3\pi}{10} $$
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### (5) 曲线 $y=x^2$ 和 $y=2-x^2$ 所围图形绕 $x$ 轴
交点：$x^2 = 2 - x^2 \Rightarrow 2x^2 = 2 \Rightarrow x = \pm 1$。 在 $[-1,1]$ 上 $2-x^2 \ge x^2$，体积为： $$ V = \pi \displaystyle{\int_{-1}^{1}} \left[ (2-x^2)^2 - (x^2)^2 \right] dx = \pi \displaystyle{\int_{-1}^{1}} (4 - 4x^2) \,dx $$ $$ = \pi \left[ 4x - \frac{4x^3}{3} \right]_{-1}^{1} = \pi \left[ \left(4 - \frac{4}{3}\right) - \left(-4 + \frac{4}{3}\right) \right] = \pi \left( \frac{8}{3} + \frac{8}{3} \right) = \frac{16\pi}{3} $$
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### (6) 抛物线 $y^2 = 8x$，点 $(2,4)$
**(1) 法线方程** 对 $y^2=8x$ 两边求导：$2y y' = 8 \Rightarrow y' = \frac{4}{y}$，在 $(2,4)$ 处斜率为 $1$，法线斜率为 $-1$。 法线方程：$y - 4 = -1(x - 2) \Rightarrow y = -x + 6$
**(2) 绕 $y$ 轴旋转体积** 取 $y \ge 0$ 部分，抛物线为 $x = \frac{y^2}{8}$，法线与 $x$ 轴交点为 $(6,0)$，与抛物线交点 $(2,4)$。 图形绕 $y$ 轴旋转，用圆盘法，$y$ 从 $0$ 到 $4$： 外半径：法线对应的 $x = 6 - y$，内半径：抛物线对应的 $x = \frac{y^2}{8}$ $$ V = \pi \displaystyle{\int_{0}^{4}} \left[ (6-y)^2 - \left(\frac{y^2}{8}\right)^2 \right] dy = \pi \displaystyle{\int_{0}^{4}} \left( 36 - 12y + y^2 - \frac{y^4}{64} \right) dy $$ $$ = \pi \left[ 36y - 6y^2 + \frac{y^3}{3} - \frac{y^5}{320} \right]_{0}^{4} = \pi \left( 144 - 96 + \frac{64}{3} - \frac{1024}{320} \right) $$ $$ = \pi \left( 48 + \frac{64}{3} - \frac{16}{5} \right) = \pi \left( \frac{720}{15} + \frac{320}{15} - \frac{48}{15} \right) = \frac{992\pi}{15} $$
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### (7) 由 $y=(x-1)(x-2)$ 和 $y=0$ 所围图形绕 $y$ 轴
曲线与 $x$ 轴交于 $x=1$ 和 $x=2$，开口向上，在区间 $[1,2]$ 上 $y\le 0$，但面积取绝对值。
**方法一：柱壳法** $$ V = 2\pi \displaystyle{\int_{1}^{2}} x \cdot |(x-1)(x-2)| \,dx = 2\pi \displaystyle{\int_{1}^{2}} x( - (x-1)(