📝 题目
6．立体底面为抛物线 $y=x^{2}$ 与直线 $y=1$ 围成的图形，而任一垂直于轴的截面分别为 （1）正方形，（2）等边三角形，（3）半圆形，求对应情况下立体的体积。
💡 答案与解析
[AI解答]
[AI解答] 本题中，立体底面是由抛物线 $ y = x^{2} $ 与直线 $ y = 1 $ 围成的平面区域。 该区域在 $ x $ 方向上的范围为：由 $ x^{2} = 1 $ 得 $ x = -1 $ 到 $ x = 1 $。 在每一个 $ x $ 处，垂直于 $ x $ 轴的截面形状不同，但截面的一条边长（或直径）由该处抛物线到直线 $ y=1 $ 的竖直距离决定。 设截面高度（或边长）为 $$ h(x) = 1 - x^{2}. $$
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### （1）截面为正方形 正方形边长等于 $ h(x) $，因此截面面积 $$ A(x) = [h(x)]^{2} = (1 - x^{2})^{2}. $$ 体积为 $$ V = \int_{-1}^{1} A(x) \, dx = \int_{-1}^{1} (1 - x^{2})^{2} \, dx. $$ 展开： $$ (1 - x^{2})^{2} = 1 - 2x^{2} + x^{4}. $$ 积分： $$ \int_{-1}^{1} 1 \, dx = 2,\quad \int_{-1}^{1} 2x^{2} \, dx = 2 \cdot \frac{2}{3} = \frac{4}{3},\quad \int_{-1}^{1} x^{4} \, dx = \frac{2}{5}. $$ 所以 $$ V = 2 - \frac{4}{3} + \frac{2}{5} = \frac{30}{15} - \frac{20}{15} + \frac{6}{15} = \frac{16}{15}. $$ 因此体积为 $\displaystyle \frac{16}{15}$。
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### （2）截面为等边三角形 等边三角形边长 $ s = h(x) = 1 - x^{2} $，其面积公式为 $$ A(x) = \frac{\sqrt{3}}{4} s^{2} = \frac{\sqrt{3}}{4} (1 - x^{2})^{2}. $$ 体积 $$ V = \frac{\sqrt{3}}{4} \int_{-1}^{1} (1 - x^{2})^{2} \, dx = \frac{\sqrt{3}}{4} \cdot \frac{16}{15} = \frac{4\sqrt{3}}{15}. $$
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### （3）截面为半圆形 半圆的直径等于 $ h(x) = 1 - x^{2} $，半径 $$ r(x) = \frac{1 - x^{2}}{2}. $$ 半圆面积 $$ A(x) = \frac{1}{2} \pi r^{2} = \frac{1}{2} \pi \left( \frac{1 - x^{2}}{2} \right)^{2} = \frac{\pi}{8} (1 - x^{2})^{2}. $$ 体积 $$ V = \frac{\pi}{8} \int_{-1}^{1} (1 - x^{2})^{2} \, dx = \frac{\pi}{8} \cdot \frac{16}{15} = \frac{2\pi}{15}. $$
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**最终答案：** (1) 正方形截面：$\displaystyle \frac{16}{15}$ (2) 等边三角形截面：$\displaystyle \frac{4\sqrt{3}}{15}$ (3) 半圆形截面：$\displaystyle \frac{2\pi}{15}$
难度：★★☆☆☆