📝 题目
7．求下列曲线的弧长． （1）曲线 $x=a(\cos t+t \sin t), y=a(\sin t-t \cos t)(a\gt 0,0 \leqslant t \leqslant 2 \pi)$ ； （2）抛物线 $y^{2}=2 p x$ 从顶点到该曲线上的一点 $M(x, y)$ 的弧； （3）曲线 $y=x^{\frac{3}{2}}$ 在 $0 \leqslant x \leqslant 4$ 一段的弧； （4）曲线 $y=\ln (\cos x)$ 在 $0 \leqslant x \leqslant \frac{\pi}{4}$ 一段的弧； （5）曲线 $x=\frac{1}{4} y^{2}-\frac{1}{2} \ln y$ 在 $1 \leqslant y \leqslant \mathrm{e}$ 一段的弧； （6）曲线 $x=\arctan t, y=\frac{1}{2} \ln \left(1+t^{2}\right)$ 自 $t=0$ 到 $t=1$ 的一段弧； （7）阿基米德螺线 $r=a \theta(a\gt 0)$ 上相应于 $\theta$ 从 0 到 $2 \pi$ 的弧； （8）极坐标系下曲线 $r=a\left(\sin \frac{\theta}{3}\right)^{3}(a\gt 0,0 \leqslant \theta \leqslant 3 \pi)$ ．
💡 答案与解析
[AI解答]
[AI解答] 以下为各小题的弧长计算过程。
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### （1） 曲线参数方程： $$ x = a(\cos t + t\sin t),\quad y = a(\sin t - t\cos t),\quad a>0,\ 0\le t\le 2\pi $$ 先求导数： $$ x'(t) = a(-\sin t + \sin t + t\cos t) = a t\cos t $$ $$ y'(t) = a(\cos t - \cos t + t\sin t) = a t\sin t $$ 弧长公式： $$ s = \int_{0}^{2\pi} \sqrt{[x'(t)]^2 + [y'(t)]^2}\,dt = \int_{0}^{2\pi} \sqrt{a^2 t^2(\cos^2 t + \sin^2 t)}\,dt = a\int_{0}^{2\pi} |t|\,dt $$ 由于 $t\ge 0$，所以： $$ s = a\int_{0}^{2\pi} t\,dt = a\left[\frac{t^2}{2}\right]_{0}^{2\pi} = a\cdot\frac{4\pi^2}{2} = 2a\pi^2 $$ **答案：** $s = 2a\pi^2$
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### （2） 抛物线 $y^2 = 2px$，顶点为 $(0,0)$，点 $M(x,y)$。 将 $x$ 表示为 $y$ 的函数：$x = \frac{y^2}{2p}$，则 $$ \frac{dx}{dy} = \frac{y}{p} $$ 弧长： $$ s = \int_{0}^{y} \sqrt{1 + \left(\frac{dx}{dy}\right)^2}\,dy = \int_{0}^{y} \sqrt{1 + \frac{y^2}{p^2}}\,dy = \frac{1}{p}\int_{0}^{y} \sqrt{p^2 + y^2}\,dy $$ 利用公式： $$ \int \sqrt{p^2 + y^2}\,dy = \frac{y}{2}\sqrt{p^2 + y^2} + \frac{p^2}{2}\ln\left|y + \sqrt{p^2 + y^2}\right| + C $$ 所以： $$ s = \frac{1}{p}\left[\frac{y}{2}\sqrt{p^2 + y^2} + \frac{p^2}{2}\ln\left(y + \sqrt{p^2 + y^2}\right)\right]_{0}^{y} $$ 在 $y=0$ 时，第一项为0，第二项为 $\frac{p^2}{2}\ln p$，因此： $$ s = \frac{y}{2p}\sqrt{p^2 + y^2} + \frac{p}{2}\ln\frac{y + \sqrt{p^2 + y^2}}{p} $$ **答案：** $s = \frac{y}{2p}\sqrt{p^2+y^2} + \frac{p}{2}\ln\frac{y+\sqrt{p^2+y^2}}{p}$
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### （3） 曲线 $y = x^{3/2}$，$0\le x\le 4$。 $$ y' = \frac{3}{2}x^{1/2} $$ 弧长： $$ s = \int_{0}^{4} \sqrt{1 + \frac{9}{4}x}\,dx = \int_{0}^{4} \sqrt{1 + \frac{9x}{4}}\,dx $$ 令 $u = 1 + \frac{9x}{4}$，则 $du = \frac{9}{4}dx$，当 $x=0$，$u=1$；$x=4$，$u=10$： $$ s = \int_{1}^{10} \sqrt{u}\cdot\frac{4}{9}\,du = \frac{4}{9}\cdot\frac{2}{3}\left[u^{3/2}\right]_{1}^{10} = \frac{8}{27}(10\sqrt{10} - 1) $$ **答案：** $s = \frac{8}{27}(10\sqrt{10} - 1)$
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### （4） 曲线 $y = \ln(\cos x)$，$0\le x\le \frac{\pi}{4}$。 $$ y' = -\tan x $$ 弧长： $$ s = \int_{0}^{\pi/4} \sqrt{1 + \tan^2 x}\,dx = \int_{0}^{\pi/4} \sec x\,dx = \left[\ln|\sec x + \tan x|\right]_{0}^{\pi/4} $$ 在 $x=0$ 时，$\sec 0 + \tan 0 = 1$，$\ln 1 = 0$；在 $x=\pi/4$ 时，$\sec\frac{\pi}{4} = \sqrt{2}$，$\tan\frac{\pi}{4}=1$，和为 $\sqrt{2}+1$。 所以： $$ s = \ln(\sqrt{2} + 1) $$ **答案：** $s = \ln(1+\sqrt{2})$
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### （5） 曲线 $x = \frac{1}{4}y^2 - \frac{1}{2}\ln y$，$1\le y\le e$。 $$ \frac{dx}{dy} = \frac{y}{2} - \frac{1}{2y} = \frac{y^2 - 1}{2y} $$ 弧长： $$ s = \int_{1}^{e} \sqrt{1 + \left(\frac{y^2-1}{2y}\right)^2}\,dy = \int_{1}^{e} \sqrt{1 + \frac{y^4 - 2y^2 + 1}{4y^2}}\,dy $$ 通分： $$ 1 = \frac{4y^2}{4y^2},\quad 所以被积函数为 \sqrt{\frac{y^4 + 2y^2 + 1}{4y^2}} = \frac{y^2+1}{2y} $$ 因此： $$ s = \int_{1}^{e} \frac{y^2+1}{2y}\,dy = \frac{1}{2}\int_{1}^{e} \left(y + \frac{1}{y}\right)dy = \frac{1}{2}\left[\frac{y^2}{2} + \ln y\right]_{1}^{e} $$ 代入： $$ = \frac{1}{2}\left[\left(\frac{e^2}{2} + 1\right) - \left(\frac{1}{2} + 0\right)\right] = \frac{1}{2}\left(\frac{e^2}{2} + 1 - \frac{1}{2}\right) = \frac{1}{2}\left(\frac{e^2}{2} + \frac{1}{2}\right) = \frac{e^2+1}{4} $$ **答案：** $s = \frac{e^2+1}{4}$
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### （6） 参数方程： $$ x = \arctan t,\quad y = \frac{1}{2}\ln(1+t^2),\quad 0\le t\le 1 $$ 求导： $$ x'(t) = \frac{1}{1+t^2},\quad y'(t) = \frac{t}{1+t^2} $$ 弧长： $$ s = \int_{0}^{1} \sqrt{\frac{1}{(1+t^2)^2} + \frac{t^2}{(1+t^2)^2}}\,dt = \int_{0}^{1} \frac{\sqrt{1+t^2}}{1+t^2}\,dt = \int_{0}^{1} \frac{dt}{\sqrt{1+t^2}} $$ 积分得： $$ s = \left[\ln(t + \sqrt{1+t^2})\right]_{0}^{1} = \ln(1+\sqrt{2}) $$ **答案：** $s = \ln(1+\sqrt{2})$
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### （7） 阿基米德螺线 $r = a\theta$，$\theta$ 从 $0$ 到 $2\pi$。 极坐标弧长公式： $$ s = \int_{0}^{2\pi} \sqrt{r^2 + \left(\frac{dr}{d\theta}\right)^2}\,d\theta = \int_{0}^{2\pi} \sqrt{a^2\theta^2 + a^2}\,d\theta = a\int_{0}^{2\pi} \sqrt{\theta^2+1}\,d\theta $$ 积分： $$ \int \sqrt{\theta^2+1}\,d\theta = \frac{\