📝 题目
8．在摆线 $x=a(t-\sin t), y=a(1-\cos t)$ 上求分摆线第一拱成 $1: 3$ 的点的坐标。
💡 答案与解析
[AI解答]
[AI解答] 摆线第一拱对应参数 $ t \in [0, 2\pi] $。弧长微元为 $$ ds = \sqrt{\left(\frac{dx}{dt}\right)^2 + \left(\frac{dy}{dt}\right)^2}\, dt $$ 先求导数： $$ \frac{dx}{dt} = a(1 - \cos t), \quad \frac{dy}{dt} = a\sin t $$ 于是 $$ \left(\frac{dx}{dt}\right)^2 + \left(\frac{dy}{dt}\right)^2 = a^2(1 - \cos t)^2 + a^2 \sin^2 t = a^2(1 - 2\cos t + \cos^2 t + \sin^2 t) = a^2(2 - 2\cos t) $$ 利用半角公式 $ 1 - \cos t = 2\sin^2\frac{t}{2} $，得 $$ ds = a\sqrt{2(1 - \cos t)}\, dt = a\sqrt{4\sin^2\frac{t}{2}}\, dt = 2a\left|\sin\frac{t}{2}\right| dt $$ 在第一拱 $ t \in [0, 2\pi] $ 上，$\sin\frac{t}{2} \ge 0$，所以 $$ ds = 2a\sin\frac{t}{2}\, dt $$
第一拱总弧长 $$ L = \int_{0}^{2\pi} 2a\sin\frac{t}{2}\, dt = 2a \left[-2\cos\frac{t}{2}\right]_{0}^{2\pi} = 2a\left[ -2\cos\pi + 2\cos 0 \right] = 2a( -2(-1) + 2 ) = 2a(2+2) = 8a $$
要将弧长按 $1:3$ 分，即从起点 $t=0$ 到某点 $t = t_0$ 的弧长是总长的 $\frac{1}{4}$： $$ \int_{0}^{t_0} 2a\sin\frac{t}{2}\, dt = \frac{1}{4} \cdot 8a = 2a $$ 计算左边： $$ 2a \left[-2\cos\frac{t}{2}\right]_{0}^{t_0} = 2a\left( -2\cos\frac{t_0}{2} + 2 \right) = 4a\left(1 - \cos\frac{t_0}{2}\right) $$ 令其等于 $2a$： $$ 4a\left(1 - \cos\frac{t_0}{2}\right) = 2a \quad\Rightarrow\quad 1 - \cos\frac{t_0}{2} = \frac12 $$ $$ \cos\frac{t_0}{2} = \frac12 \quad\Rightarrow\quad \frac{t_0}{2} = \frac{\pi}{3} \quad (\text{因为 } t_0 \in [0,2\pi]) $$ 所以 $$ t_0 = \frac{2\pi}{3} $$
代入摆线方程求坐标： $$ x = a\left( \frac{2\pi}{3} - \sin\frac{2\pi}{3} \right) = a\left( \frac{2\pi}{3} - \frac{\sqrt{3}}{2} \right) $$ $$ y = a\left(1 - \cos\frac{2\pi}{3}\right) = a\left(1 - \left(-\frac12\right)\right) = a\left(1 + \frac12\right) = \frac{3a}{2} $$
因此所求点的坐标为 $$ \boxed{\left( a\left(\frac{2\pi}{3} - \frac{\sqrt{3}}{2}\right),\; \frac{3a}{2} \right)} $$
难度：★★☆☆☆