📝 题目
1．讨论下列广义积分的玫散性，若收敛，求出其值： （1） $\displaystyle{\int}_{1}^{+\infty} \frac{1}{x^{2}} \mathrm{~d} x$ ； （2） $\displaystyle{\int}_{0}^{+\infty} x \mathrm{e}^{-x^{2}} \mathrm{~d} x$ ； （3） $\displaystyle{\int}_{5}^{+\infty} \frac{1}{x(x+5)} \mathrm{d} x$ ； （4） $\displaystyle{\int}_{-\infty}^{+\infty} \frac{1}{x^{2}+x+1} \mathrm{~d} x$ ； （5） $\displaystyle{\int}_{0}^{+\infty} \sin x \mathrm{~d} x$ ； （6） $\displaystyle{\int}_{1}^{+\infty} \frac{1}{x \sqrt{x^{2}-1}} \mathrm{~d} x$ ； （7） $\displaystyle{\int}_{1}^{+\infty} \frac{1}{x \sqrt{1+x^{2}}} \mathrm{~d} x$ ； （8） $\displaystyle{\int}_{0}^{+\infty} \frac{1}{x \sqrt{x+1}} \mathrm{~d} x$ ．
💡 答案与解析
[AI解答]
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以下逐一讨论各广义积分的敛散性，若收敛则计算其值。
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**(1)** $$ \int_{1}^{+\infty} \frac{1}{x^{2}} \, dx $$ 计算： $$ \int_{1}^{+\infty} x^{-2} dx = \lim_{b\to +\infty} \left[ -x^{-1} \right]_{1}^{b} = \lim_{b\to +\infty}\left( -\frac{1}{b} + 1 \right) = 1 $$ 收敛，值为 $1$。
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**(2)** $$ \int_{0}^{+\infty} x e^{-x^{2}} \, dx $$ 令 $u = x^{2}$，则 $du = 2x dx$， $$ \int_{0}^{+\infty} x e^{-x^{2}} dx = \frac{1}{2} \int_{0}^{+\infty} e^{-u} du = \frac{1}{2} \cdot 1 = \frac{1}{2} $$ 收敛，值为 $\frac{1}{2}$。
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**(3)** $$ \int_{5}^{+\infty} \frac{1}{x(x+5)} \, dx $$ 部分分式： $$ \frac{1}{x(x+5)} = \frac{1}{5}\left( \frac{1}{x} - \frac{1}{x+5} \right) $$ 积分： $$ \frac{1}{5} \int_{5}^{+\infty} \left( \frac{1}{x} - \frac{1}{x+5} \right) dx = \frac{1}{5} \lim_{b\to +\infty} \left[ \ln\frac{x}{x+5} \right]_{5}^{b} $$ 计算： $$ = \frac{1}{5} \left( \lim_{b\to +\infty} \ln\frac{b}{b+5} - \ln\frac{5}{10} \right) = \frac{1}{5} \left( \ln 1 - \ln\frac{1}{2} \right) = \frac{1}{5} \ln 2 $$ 收敛，值为 $\frac{\ln 2}{5}$。
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**(4)** $$ \int_{-\infty}^{+\infty} \frac{1}{x^{2}+x+1} \, dx $$ 分母配方： $$ x^{2}+x+1 = \left(x+\frac{1}{2}\right)^{2} + \frac{3}{4} $$ 则 $$ \int_{-\infty}^{+\infty} \frac{dx}{\left(x+\frac{1}{2}\right)^{2} + \frac{3}{4}} = \left[ \frac{2}{\sqrt{3}} \arctan\frac{2x+1}{\sqrt{3}} \right]_{-\infty}^{+\infty} $$ 计算极限： $$ \lim_{x\to +\infty} \arctan\frac{2x+1}{\sqrt{3}} = \frac{\pi}{2},\quad \lim_{x\to -\infty} = -\frac{\pi}{2} $$ 差为 $\pi$，乘以 $\frac{2}{\sqrt{3}}$ 得 $\frac{2\pi}{\sqrt{3}}$。 收敛，值为 $\frac{2\pi}{\sqrt{3}}$。
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**(5)** $$ \int_{0}^{+\infty} \sin x \, dx $$ 原函数为 $-\cos x$， $$ \lim_{b\to +\infty} (-\cos b + \cos 0) = \lim_{b\to +\infty} (-\cos b + 1) $$ 极限不存在，故发散。
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**(6)** $$ \int_{1}^{+\infty} \frac{1}{x\sqrt{x^{2}-1}} \, dx $$ 令 $x = \sec t$，则 $dx = \sec t \tan t \, dt$，当 $x=1$ 时 $t=0$，$x\to +\infty$ 时 $t\to \frac{\pi}{2}^{-}$， 被积函数化为： $$ \frac{1}{\sec t \cdot \tan t} \cdot \sec t \tan t \, dt = dt $$ 积分： $$ \int_{0}^{\pi/2} dt = \frac{\pi}{2} $$ 收敛，值为 $\frac{\pi}{2}$。
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**(7)** $$ \int_{1}^{+\infty} \frac{1}{x\sqrt{1+x^{2}}} \, dx $$ 令 $x = \tan t$，则 $dx = \sec^{2} t \, dt$，当 $x=1$ 时 $t=\frac{\pi}{4}$，$x\to +\infty$ 时 $t\to \frac{\pi}{2}^{-}$， 被积函数化为： $$ \frac{1}{\tan t \cdot \sec t} \cdot \sec^{2} t \, dt = \frac{\sec t}{\tan t} dt = \frac{1}{\sin t} dt = \csc t \, dt $$ 积分： $$ \int_{\pi/4}^{\pi/2} \csc t \, dt = \left[ \ln|\csc t - \cot t| \right]_{\pi/4}^{\pi/2} $$ 在 $t=\pi/2$ 时，$\csc t = 1$，$\cot t = 0$，值为 $\ln 1 = 0$； 在 $t=\pi/4$ 时，$\csc t = \sqrt{2}$，$\cot t = 1$，值为 $\ln(\sqrt{2} - 1)$。 因此结果为 $0 - \ln(\sqrt{2} - 1) = \ln\frac{1}{\sqrt{2} - 1} = \ln(\sqrt{2} + 1)$。 收敛，值为 $\ln(1+\sqrt{2})$。
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**(8)** $$ \int_{0}^{+\infty} \frac{1}{x\sqrt{x+1}} \, dx $$ 注意在 $x=0$ 处被积函数 $\sim \frac{1}{x}$，发散（因为 $\int_{0}^{\delta} \frac{dx}{x}$ 发散）。 故该广义积分发散。
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**难度评级**：★★☆☆☆