📝 题目
2．讨论下列广义积分的玫散性，若收敛，求出其值： （1） $\displaystyle{\int}_{1}^{2} \frac{1}{x \ln x} \mathrm{~d} x$ ； （2） $\displaystyle{\int}_{0}^{2} \frac{1}{(1-x)^{3}} \mathrm{~d} x$ ； （3） $\displaystyle{\int}_{-1}^{1} \frac{1}{\sqrt{1-x^{2}}} \mathrm{~d} x$ ； （4） $\displaystyle{\int}_{0}^{1} \frac{1}{(2-x) \sqrt{1-x}} \mathrm{~d} x$ ； （5） $\displaystyle{\int}_{0}^{\frac{\pi}{2}} \frac{1}{\sin x} \mathrm{~d} x$ ； （6） $\displaystyle{\int}_{0}^{1} \frac{x^{3} \arcsin x}{\sqrt{1-x^{2}}} \mathrm{~d} x$ ； （7） $\displaystyle{\int}_{0}^{+\infty} \frac{\arctan x}{x^{2}} \mathrm{~d} x$ ； （8） $\displaystyle{\int}_{-1}^{1} \sqrt{\frac{1-x}{1+x}} \mathrm{~d} x$ ．
💡 答案与解析
[AI解答]
[AI解答]
我们逐一讨论每个广义积分的敛散性，若收敛则计算其值。
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### （1） $$ I_1 = \displaystyle{\int}_{1}^{2} \frac{1}{x \ln x} \mathrm{~d} x $$ 在 $x=1$ 处 $\ln x \to 0$，被积函数趋于无穷，是瑕积分。 令 $t = \ln x$，则 $\mathrm{d}x = x \mathrm{d}t$，积分变为 $$ I_1 = \displaystyle{\int}_{0}^{\ln 2} \frac{1}{t} \mathrm{~d} t $$ 该积分在 $t=0$ 发散（因为 $\int_0^\varepsilon \frac{1}{t} dt$ 发散）。 **结论：发散。**
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### （2） $$ I_2 = \displaystyle{\int}_{0}^{2} \frac{1}{(1-x)^{3}} \mathrm{~d} x $$ 瑕点 $x=1$。拆为 $$ I_2 = \displaystyle{\int}_{0}^{1} \frac{1}{(1-x)^3} \mathrm{~d}x + \displaystyle{\int}_{1}^{2} \frac{1}{(1-x)^3} \mathrm{~d}x $$ 先看第一段：令 $u=1-x$，则 $$ \displaystyle{\int}_{0}^{1} \frac{1}{(1-x)^3} \mathrm{~d}x = \displaystyle{\int}_{0}^{1} u^{-3} \mathrm{~d}u $$ 该积分在 $u=0$ 处发散（指数 $-3<-1$）。 因此整体发散。 **结论：发散。**
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### （3） $$ I_3 = \displaystyle{\int}_{-1}^{1} \frac{1}{\sqrt{1-x^{2}}} \mathrm{~d} x $$ 瑕点 $x=\pm 1$。由对称性， $$ I_3 = 2 \displaystyle{\int}_{0}^{1} \frac{1}{\sqrt{1-x^{2}}} \mathrm{~d} x $$ 令 $x = \sin t$，则 $\mathrm{d}x = \cos t \mathrm{~d}t$， $$ \displaystyle{\int}_{0}^{1} \frac{1}{\sqrt{1-x^{2}}} \mathrm{~d}x = \displaystyle{\int}_{0}^{\frac{\pi}{2}} \frac{\cos t}{\cos t} \mathrm{~d}t = \frac{\pi}{2} $$ 所以 $$ I_3 = 2 \cdot \frac{\pi}{2} = \pi $$ **结论：收敛，值为 $\pi$。**
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### （4） $$ I_4 = \displaystyle{\int}_{0}^{1} \frac{1}{(2-x) \sqrt{1-x}} \mathrm{~d} x $$ 瑕点 $x=1$。令 $t = \sqrt{1-x}$，则 $x = 1 - t^2$，$\mathrm{d}x = -2t \mathrm{~d}t$， 当 $x:0\to 1$，$t:1\to 0$， $$ I_4 = \displaystyle{\int}_{1}^{0} \frac{1}{(2-(1-t^2))\, t} (-2t) \mathrm{~d}t = \displaystyle{\int}_{0}^{1} \frac{2}{1+t^2} \mathrm{~d}t $$ $$ = 2 \arctan t \Big|_{0}^{1} = 2 \cdot \frac{\pi}{4} = \frac{\pi}{2} $$ **结论：收敛，值为 $\frac{\pi}{2}$。**
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### （5） $$ I_5 = \displaystyle{\int}_{0}^{\frac{\pi}{2}} \frac{1}{\sin x} \mathrm{~d} x $$ 瑕点 $x=0$。当 $x\to 0^+$，$\sin x \sim x$， $$ \frac{1}{\sin x} \sim \frac{1}{x} $$ 而 $\int_0^\varepsilon \frac{1}{x} dx$ 发散。 **结论：发散。**
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### （6） $$ I_6 = \displaystyle{\int}_{0}^{1} \frac{x^{3} \arcsin x}{\sqrt{1-x^{2}}} \mathrm{~d} x $$ 瑕点 $x=1$。令 $x = \sin t$，则 $\mathrm{d}x = \cos t \mathrm{~d}t$， 当 $x:0\to 1$，$t:0\to \frac{\pi}{2}$， $$ I_6 = \displaystyle{\int}_{0}^{\frac{\pi}{2}} \frac{\sin^3 t \cdot t}{\cos t} \cos t \mathrm{~d}t = \displaystyle{\int}_{0}^{\frac{\pi}{2}} t \sin^3 t \mathrm{~d}t $$ 用 $\sin^3 t = \frac{3\sin t - \sin 3t}{4}$， $$ I_6 = \frac{1}{4} \displaystyle{\int}_{0}^{\frac{\pi}{2}} (3t\sin t - t\sin 3t) \mathrm{~d}t $$ 分部积分： $\int t \sin at \mathrm{~d}t = -\frac{t\cos at}{a} + \frac{\sin at}{a^2}$ 在 $0$ 到 $\frac{\pi}{2}$ 计算： 对于 $a=1$： $$ \left[-\frac{t\cos t}{1} + \frac{\sin t}{1}\right]_{0}^{\frac{\pi}{2}} = \left(0 + 1\right) - (0+0) = 1 $$ 对于 $a=3$： $$ \left[-\frac{t\cos 3t}{3} + \frac{\sin 3t}{9}\right]_{0}^{\frac{\pi}{2}} $$ 在 $t=\frac{\pi}{2}$：$\cos\frac{3\pi}{2}=0$，$\sin\frac{3\pi}{2}=-1$，得 $0 + \frac{-1}{9} = -\frac{1}{9}$ 在 $t=0$：值为 $0$，所以结果为 $-\frac{1}{9}$。 因此 $$ I_6 = \frac{1}{4}\left(3\cdot 1 - (-\frac{1}{9})\right) = \frac{1}{4}\left(3 + \frac{1}{9}\right) = \frac{1}{4} \cdot \frac{28}{9} = \frac{7}{9} $$ **结论：收敛，值为 $\frac{7}{9}$。**
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### （7） $$ I_7 = \displaystyle{\int}_{0}^{+\infty} \frac{\arctan x}{x^{2}} \mathrm{~d} x $$ 瑕点 $x=0$ 和无穷远。 在 $x\to 0^+$，$\arctan x \sim x$，被积函数 $\sim \frac{1}{x}$，发散。 **结论：发散。**
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### （8） $$ I_8 = \displaystyle{\int}_{-1}^{1} \sqrt{\frac{1-x}{1+x}} \mathrm{~d} x $$ 瑕点 $x=-1$。令 $x = \cos 2t$，则当 $x:-1\to 1$，$t:\frac{\pi}{2}\to 0$， $$ \sqrt{\frac{1-x}{1+x}} = \sqrt{\frac{1-\cos 2t}{1+\cos 2t}} = \sqrt{\frac{2\sin^2 t}{2\cos^2 t}} = \tan t $$ 且 $\mathrm{d}x = -2\sin 2t \mathrm{~d}t = -4\sin t \cos t \mathrm{~d}t$， $$ I_8 = \displaystyle{\int}_{\frac{\pi}{2}}^{0} \tan t \cdot (-4\sin t\cos t) \mathrm{~d}t = \displaystyle{\int}_{0}^{\frac{\pi}{2}} 4\sin^2 t \mathrm{~d}t $$ $$ = 4 \cdot \frac{1}{2} \cdot \frac{\pi}{2} = \pi $$ **结论：收敛，值为 $\pi$。**
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**最终答案汇总：** （1）发散 （2）发散 （3）收敛，$\pi$ （4）收敛，$\frac{\pi}{2}$ （5）发散 （6）收敛，$\frac{7}{9}$ （7）发散 （8）收敛，$\pi$
难度评级：★★★☆☆