📝 题目
section*{1．选择题} （1）微分方程 $x y^{\prime \prime \prime}+\left(y^{\prime \prime}\right)^{2}=x^{5}$ 的阶数是（ ）； A． 2 B． 3 C． 4 D． 5 （2）微分方程 $3 y^{2} \mathrm{~d} y+3 x^{2} \mathrm{~d} x=0$ 的阶数是（ ）； A． 1 B． 3 C． 2 D． 0 （3）下列方程中，不是微分方程的是（）； A．$\left(y^{\prime}\right)^{2}+3 y=0$ B． $\mathrm{d} y+\frac{1}{x} \mathrm{~d} x=2 \mathrm{~d} x$ C．$y^{\prime \prime}=\mathrm{e}^{x-y}$ D．$x^{2}+y^{2}=K^{2}$ （4）下列函数中，（ ）是微分方程 $\mathrm{d} y-2 x \mathrm{~d} x=0$ 的解； A．$y=2 x$ B．$y=-2 x$ C．$y=-x$ D．$y=x^{2}$ （5）方程 $\frac{\mathrm{d}^{3} y}{\mathrm{~d} x^{3}}+3 \frac{\mathrm{~d}^{2} y}{\mathrm{~d} x^{2}}+\frac{\mathrm{d} y}{\mathrm{~d} x}+\mathrm{e}^{x}=1$ 的通解应该包含的常数的个数为（）。 A． 2 B． 3 C． 1 D． 0
💡 答案与解析
[AI解答]
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**（1）** 微分方程 $x y^{\prime \prime \prime}+\left(y^{\prime \prime}\right)^{2}=x^{5}$ 的阶数是（ ）。 微分方程的阶数是指方程中出现的最高阶导数的阶数。这里最高阶导数为 $y^{\prime \prime \prime}$，是三阶导数，因此阶数为 3。 答案：B
**（2）** 微分方程 $3 y^{2} \mathrm{~d} y+3 x^{2} \mathrm{~d} x=0$ 的阶数是（ ）。 该方程中出现的最高阶导数是 $\frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x}$ 的一次形式（隐含于一阶微分形式中），实际上等价于 $$ 3y^2 \frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x} + 3x^2 = 0 $$ 因此是一阶微分方程。 答案：A
**（3）** 下列方程中，不是微分方程的是（ ）。 微分方程必须含有未知函数的导数或微分。 A 含有 $y'$，B 含有微分 $\mathrm{d}y$，C 含有 $y''$，D 是 $x^2+y^2=K^2$，不含任何导数或微分，是普通代数方程。 答案：D
**（4）** 下列函数中，（ ）是微分方程 $\mathrm{d} y-2 x \mathrm{~d} x=0$ 的解。 方程可写为 $$ \frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x} = 2x $$ 积分得 $y = x^2 + C$。选项中只有 $y=x^2$ 符合（对应 $C=0$）。 答案：D
**（5）** 方程 $\frac{\mathrm{d}^{3} y}{\mathrm{~d} x^{3}}+3 \frac{\mathrm{~d}^{2} y}{\mathrm{~d} x^{2}}+\frac{\mathrm{d} y}{\mathrm{~d} x}+\mathrm{e}^{x}=1$ 的通解应该包含的常数的个数为（ ）。 该方程是三阶微分方程，通解中独立常数的个数等于方程的阶数，即 3 个。 答案：B
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**难度评级**：★☆☆☆☆