📝 题目
2．指出下列方程哪些是微分方程，并指出方程的阶数。 （1）$x y y^{\prime \prime}+x\left(y^{\prime}\right)^{3}-y^{4} y^{\prime}=0$ ； （2）$\frac{\mathrm{d} y}{\mathrm{~d} x} \cos x+y \sin x=0$ ； （3）$y^{2}-\frac{y}{x}=\frac{x}{y}$ ； （4） $3 y^{2} \mathrm{~d} y+3 x^{2} \mathrm{~d} x=1$ ； （5）$(x-2 y) y^{\prime \prime \prime}=2 x^{4}-y$ ； （6）$y^{\prime}=3 y^{\frac{2}{3}}$ ．
💡 答案与解析
[AI解答]
[AI解答]
我们来逐一判断每个方程是否为微分方程，并指出其阶数。
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**（1）** 方程： $$x y y^{\prime \prime}+x\left(y^{\prime}\right)^{3}-y^{4} y^{\prime}=0$$ 含有导数 $y^{\prime}$ 和 $y^{\prime\prime}$，因此是微分方程。 最高阶导数为 $y^{\prime\prime}$，所以阶数为 **2**。
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**（2）** 方程： $$\frac{\mathrm{d} y}{\mathrm{~d} x} \cos x+y \sin x=0$$ 含有导数 $\displaystyle{\frac{\mathrm{d} y}{\mathrm{d} x}}$，是微分方程。 最高阶导数为1阶，所以阶数为 **1**。
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**（3）** 方程： $$y^{2}-\frac{y}{x}=\frac{x}{y}$$ 不含任何导数或微分形式，因此 **不是微分方程**。
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**（4）** 方程： $$3 y^{2} \mathrm{~d} y+3 x^{2} \mathrm{~d} x=1$$ 含有微分 $\mathrm{d}y$ 和 $\mathrm{d}x$，是微分方程（微分形式）。 最高阶微分为1阶，所以阶数为 **1**。
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**（5）** 方程： $$(x-2 y) y^{\prime \prime \prime}=2 x^{4}-y$$ 含有三阶导数 $y^{\prime\prime\prime}$，是微分方程。 最高阶导数为3，所以阶数为 **3**。
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**（6）** 方程： $$y^{\prime}=3 y^{\frac{2}{3}}$$ 含有一阶导数 $y^{\prime}$，是微分方程。 阶数为 **1**。
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**最终答案汇总**：
- (1) 是，2阶 - (2) 是，1阶 - (3) 不是 - (4) 是，1阶 - (5) 是，3阶 - (6) 是，1阶
难度：★☆☆☆☆（基础概念判断题，只需识别导数和阶数）