📝 题目
4．确定下列函数中 $C_{1}, C_{2}$ 的值，使得函数满足所给定的条件． （1）$y=C_{1} \cos x+C_{2} \sin x,\left.y\right|_{x=0}=1,\left.y^{\prime}\right|_{x=0}=3$ ； （2）$y=\left(C_{1}+x C_{2}\right) \mathrm{e}^{2 x},\left.y\right|_{x=0}=0,\left.y^{\prime}\right|_{x=0}=1$ ．
💡 答案与解析
[AI解答]
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**（1）** 已知 $$ y = C_{1} \cos x + C_{2} \sin x $$ 先求导： $$ y' = -C_{1} \sin x + C_{2} \cos x $$ 代入条件： 当 $x=0$ 时， $$ y(0) = C_{1} \cos 0 + C_{2} \sin 0 = C_{1} = 1 $$ $$ y'(0) = -C_{1} \sin 0 + C_{2} \cos 0 = C_{2} = 3 $$ 因此解得 $$ C_{1} = 1,\quad C_{2} = 3 $$
**（2）** 已知 $$ y = (C_{1} + x C_{2}) \mathrm{e}^{2x} $$ 先求导（使用乘积法则）： $$ y' = C_{2} \mathrm{e}^{2x} + (C_{1} + x C_{2}) \cdot 2 \mathrm{e}^{2x} = \mathrm{e}^{2x} \bigl[ C_{2} + 2C_{1} + 2x C_{2} \bigr] $$ 代入条件： 当 $x=0$ 时， $$ y(0) = (C_{1} + 0) \cdot 1 = C_{1} = 0 $$ $$ y'(0) = 1 \cdot [C_{2} + 2C_{1} + 0] = C_{2} + 2C_{1} = 1 $$ 由 $C_{1}=0$ 得 $C_{2}=1$。 因此 $$ C_{1} = 0,\quad C_{2} = 1 $$
难度：★☆☆☆☆