📝 题目
5．试求下列微分方程在指定形式下的解． （1）$y^{\prime \prime}+3 y^{\prime}+2 y=0$ ，形如 $y=\mathrm{e}^{r x}$ 的解； （2）$x^{2} y^{\prime \prime}+6 x y^{\prime}+4 y=0$ ，形如 $y=x^{\lambda}$ 的解。
💡 答案与解析
[AI解答]
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(1) 给定微分方程 $$ y'' + 3y' + 2y = 0 $$ 设解形如 $y = e^{rx}$，则 $$ y' = r e^{rx},\quad y'' = r^2 e^{rx} $$ 代入原方程得 $$ r^2 e^{rx} + 3r e^{rx} + 2 e^{rx} = 0 $$ 提取公因子 $e^{rx} \neq 0$，得到特征方程 $$ r^2 + 3r + 2 = 0 $$ 因式分解： $$ (r+1)(r+2) = 0 $$ 解得 $$ r_1 = -1,\quad r_2 = -2 $$ 因此形如 $y = e^{rx}$ 的解为 $$ y_1 = e^{-x},\quad y_2 = e^{-2x} $$
(2) 给定微分方程 $$ x^2 y'' + 6x y' + 4y = 0 $$ 设解形如 $y = x^\lambda$，则 $$ y' = \lambda x^{\lambda-1},\quad y'' = \lambda(\lambda-1) x^{\lambda-2} $$ 代入原方程： $$ x^2 \cdot \lambda(\lambda-1) x^{\lambda-2} + 6x \cdot \lambda x^{\lambda-1} + 4 x^\lambda = 0 $$ 化简： $$ \lambda(\lambda-1) x^\lambda + 6\lambda x^\lambda + 4 x^\lambda = 0 $$ 提取 $x^\lambda \neq 0$，得 $$ \lambda(\lambda-1) + 6\lambda + 4 = 0 $$ 即 $$ \lambda^2 - \lambda + 6\lambda + 4 = \lambda^2 + 5\lambda + 4 = 0 $$ 因式分解： $$ (\lambda+1)(\lambda+4) = 0 $$ 解得 $$ \lambda_1 = -1,\quad \lambda_2 = -4 $$ 因此形如 $y = x^\lambda$ 的解为 $$ y_1 = x^{-1},\quad y_2 = x^{-4} $$
难度：★☆☆☆☆