📝 题目
1．求下列可分离变量微分方程的通解： （1）$x \mathrm{~d} y-y \mathrm{~d} x=0$ ； （2）$x y^{\prime}+y=0$ ； （3）$x \mathrm{~d} y+\mathrm{d} x=\mathrm{e}^{y} \mathrm{~d} x$ ； （4）$\frac{x}{1+y} \mathrm{~d} y-\frac{y}{1+x} \mathrm{~d} x=0$ ； （5）$y^{\prime}=\mathrm{e}^{x+y}$ ； （6）$y \ln x \mathrm{~d} x+x \ln y \mathrm{~d} y=0$ ； （7） $\cos ^{2} x \frac{\mathrm{~d} y}{\mathrm{~d} x}+y=0$ ； （8）$x\left(y^{2}-1\right) \mathrm{d} x+y\left(x^{2}-1\right) \mathrm{d} y=0$ ．
💡 答案与解析
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以下为各小题的详细求解过程：
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### （1） 方程： $$ x \mathrm{~d} y - y \mathrm{~d} x = 0 $$ 移项得： $$ x \mathrm{~d} y = y \mathrm{~d} x $$ 分离变量： $$ \frac{\mathrm{d} y}{y} = \frac{\mathrm{d} x}{x} $$ 两边积分： $$ \int \frac{\mathrm{d} y}{y} = \int \frac{\mathrm{d} x}{x} $$ 得： $$ \ln |y| = \ln |x| + C $$ 即： $$ y = C x $$ 通解为： $$ \boxed{y = Cx} $$
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### （2） 方程： $$ x y' + y = 0 $$ 即： $$ x \frac{\mathrm{d} y}{\mathrm{d} x} + y = 0 $$ 分离变量： $$ \frac{\mathrm{d} y}{y} = -\frac{\mathrm{d} x}{x} $$ 积分： $$ \int \frac{\mathrm{d} y}{y} = -\int \frac{\mathrm{d} x}{x} $$ 得： $$ \ln |y| = -\ln |x| + C $$ 即： $$ y = \frac{C}{x} $$ 通解为： $$ \boxed{y = \frac{C}{x}} $$
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### （3） 方程： $$ x \mathrm{~d} y + \mathrm{d} x = \mathrm{e}^{y} \mathrm{~d} x $$ 移项： $$ x \mathrm{~d} y = (\mathrm{e}^{y} - 1) \mathrm{d} x $$ 分离变量： $$ \frac{\mathrm{d} y}{\mathrm{e}^{y} - 1} = \frac{\mathrm{d} x}{x} $$ 左边变形： $$ \frac{1}{\mathrm{e}^{y} - 1} = \frac{\mathrm{e}^{-y}}{1 - \mathrm{e}^{-y}} $$ 积分： $$ \int \frac{\mathrm{e}^{-y}}{1 - \mathrm{e}^{-y}} \mathrm{d} y = \int \frac{\mathrm{d} x}{x} $$ 令 $u = 1 - \mathrm{e}^{-y}$，则 $\mathrm{d} u = \mathrm{e}^{-y} \mathrm{d} y$，左边为： $$ \int \frac{\mathrm{d} u}{u} = \ln |u| = \ln |1 - \mathrm{e}^{-y}| $$ 右边：$\ln |x| + C$ 所以： $$ \ln |1 - \mathrm{e}^{-y}| = \ln |x| + C $$ 即： $$ 1 - \mathrm{e}^{-y} = C x $$ 从而： $$ \mathrm{e}^{-y} = 1 - C x $$ 取对数： $$ y = -\ln |1 - C x| $$ 通解为： $$ \boxed{y = -\ln |1 - Cx|} $$
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### （4） 方程： $$ \frac{x}{1+y} \mathrm{~d} y - \frac{y}{1+x} \mathrm{~d} x = 0 $$ 移项： $$ \frac{x}{1+y} \mathrm{~d} y = \frac{y}{1+x} \mathrm{~d} x $$ 分离变量： $$ \frac{1+y}{y} \mathrm{~d} y = \frac{1+x}{x} \mathrm{~d} x $$ 即： $$ \left( \frac{1}{y} + 1 \right) \mathrm{d} y = \left( \frac{1}{x} + 1 \right) \mathrm{d} x $$ 积分： $$ \int \left( \frac{1}{y} + 1 \right) \mathrm{d} y = \int \left( \frac{1}{x} + 1 \right) \mathrm{d} x $$ 得： $$ \ln |y| + y = \ln |x| + x + C $$ 通解为： $$ \boxed{\ln |y| + y = \ln |x| + x + C} $$
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### （5） 方程： $$ y' = \mathrm{e}^{x+y} $$ 即： $$ \frac{\mathrm{d} y}{\mathrm{d} x} = \mathrm{e}^{x} \mathrm{e}^{y} $$ 分离变量： $$ \mathrm{e}^{-y} \mathrm{d} y = \mathrm{e}^{x} \mathrm{d} x $$ 积分： $$ \int \mathrm{e}^{-y} \mathrm{d} y = \int \mathrm{e}^{x} \mathrm{d} x $$ 得： $$ -\mathrm{e}^{-y} = \mathrm{e}^{x} + C $$ 即： $$ \mathrm{e}^{-y} = -\mathrm{e}^{x} - C $$ 取对数： $$ y = -\ln (-\mathrm{e}^{x} - C) $$ 或写作： $$ \mathrm{e}^{-y} + \mathrm{e}^{x} = C $$ 通解为： $$ \boxed{\mathrm{e}^{-y} + \mathrm{e}^{x} = C} $$
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### （6） 方程： $$ y \ln x \mathrm{~d} x + x \ln y \mathrm{~d} y = 0 $$ 移项： $$ y \ln x \mathrm{~d} x = -x \ln y \mathrm{~d} y $$ 分离变量： $$ \frac{\ln x}{x} \mathrm{d} x = -\frac{\ln y}{y} \mathrm{d} y $$ 积分： $$ \int \frac{\ln x}{x} \mathrm{d} x = -\int \frac{\ln y}{y} \mathrm{d} y $$ 令 $u = \ln x$，则 $\mathrm{d} u = \frac{1}{x} \mathrm{d} x$，左边为： $$ \int u \mathrm{d} u = \frac{u^{2}}{2} = \frac{(\ln x)^{2}}{2} $$ 同理右边： $$ -\frac{(\ln y)^{2}}{2} $$ 所以： $$ \frac{(\ln x)^{2}}{2} = -\frac{(\ln y)^{2}}{2} + C $$ 即： $$ (\ln x)^{2} + (\ln y)^{2} = C $$ 通解为： $$ \boxed{(\ln x)^{2} + (\ln y)^{2} = C} $$
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### （7） 方程： $$ \cos^{2} x \frac{\mathrm{d} y}{\mathrm{d} x} + y = 0 $$ 即： $$ \cos^{2} x \frac{\mathrm{d} y}{\mathrm{d} x} = -y $$ 分离变量： $$ \frac{\mathrm{d} y}{y} = -\frac{\mathrm{d} x}{\cos^{2} x} $$ 积分： $$ \int \frac{\mathrm{d} y}{y} = -\int \sec^{2} x \mathrm{d} x $$ 得： $$ \ln |y| = -\tan x + C $$ 即： $$ y = C \mathrm{e}^{-\tan x} $$ 通解为： $$ \boxed{y = C \mathrm{e}^{-\tan x}} $$
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### （8） 方程： $$ x (y^{2} - 1) \mathrm{d} x + y (x^{2} - 1) \mathrm{d} y = 0 $$ 移项： $$ x (y^{2} - 1) \mathrm{d} x = -y (x^{2} - 1) \mathrm{d} y $$ 分离变量： $$ \frac{x}{x^{2} - 1} \mathrm{d} x = -\frac{y}{y^{2} - 1} \mathrm{d} y $$ 积分： $$ \int \frac{x}{x^{2} - 1} \mathrm{d} x = -\int \frac{y}{y^{2} - 1} \mathrm{d} y $$ 左边：令 $u = x^{2} - 1$，$\mathrm{d} u = 2x \mathrm{d} x$，则 $$ \int \frac{x}{x^{2} - 1} \mathrm{d} x = \frac{1}{2} \ln |x^{2} - 1| $$ 同理右边： $$ -\frac{1}{2} \ln |y^{2} -