📝 题目
4．求下列微分方程满足所给初始条件的特解： （1）$\left\{\begin{array}{c}y^{\prime} \sin x=y \ln y, \\ \left.y\right|_{x=\frac{\pi}{2}}=\mathrm{e} ;\end{array}\right.$ （2）$\left\{\begin{array}{l}\sqrt{1-x^{2}} y^{\prime}=x, \\ \left.y\right|_{x=0}=0 ;\end{array}\right.$ （3）$\left\{\begin{array}{l}(y+3) \mathrm{d} x+\cot x \mathrm{~d} y=0, \\ \left.y\right|_{x=0}=1 ;\end{array}\right.$ （4）$\left\{\begin{array}{l}\cos y \mathrm{~d} x+\left(1+\mathrm{e}^{-x}\right) \sin y \mathrm{~d} y=0, \\ \left.y\right|_{x=0}=\frac{\pi}{4} ;\end{array}\right.$ （5）$\left\{\begin{array}{l}y^{\prime}=\mathrm{e}^{2 x-y}, \\ \left.y\right|_{x=0}=0 ;\end{array}\right.$ （6）$\left\{\begin{array}{l}x y^{\prime}+y=3, \\ \left.y\right|_{x=1}=0 ;\end{array}\right.$ （7）$\left\{\begin{array}{l}y^{\prime}=\frac{x^{2}+y^{2}}{x y}, \\ \left.y\right|_{x=1}=1 ;\end{array}\right.$ （8）$\left\{\begin{array}{l}\sin x \cos y \mathrm{~d} x=\cos x \sin y \mathrm{~d} y, \\ \left.y\right|_{x=0}=\frac{\pi}{4} ;\end{array}\right.$ （9）$\left\{\begin{array}{l}\frac{\mathrm{d} y}{\mathrm{~d} x}-y \tan x=\sec x, \\ \left.y\right|_{x=0}=0 ;\end{array}\right.$ （10）$\left\{\begin{array}{l}x y^{\prime}+y=\sin x, \\ \left.y\right|_{x=\frac{\pi}{2}}=0 ;\end{array}\right.$ （11）$\left\{\begin{array}{l}2 x y^{\prime}=y-x^{3}, \\ \left.y\right|_{x=1}=0 ;\end{array}\right.$ （12）$\left\{\begin{array}{l}x^{2} y^{\prime}+(1-2 x) y=x^{2}, \\ \left.y\right|_{x=1}=0 ;\end{array}\right.$ （13）$\left\{\begin{array}{l}y^{\prime} \cos ^{2} x+y=\tan x, \\ \left.y\right|_{x=0}=0 ;\end{array}\right.$ （14）$\left\{\begin{array}{l}y^{\prime}+y \cot x=5 \mathrm{e}^{\cos x}, \\ \left.y\right|_{x=\frac{\pi}{2}}=-4 .\end{array}\right.$
💡 答案与解析
[AI解答]
[AI解答] 以下为各小题的求解过程，使用分离变量法或一阶线性微分方程解法，并代入初始条件确定特解。
---
### (1) 方程：$y' \sin x = y \ln y$，初始条件 $y(\frac{\pi}{2}) = e$
分离变量： $$ \displaystyle{\frac{dy}{y \ln y} = \frac{dx}{\sin x}} $$ 积分： $$ \displaystyle{\int \frac{dy}{y \ln y} = \int \csc x \, dx} $$ 左边：$\ln|\ln y|$，右边：$\ln|\csc x - \cot x| + C$ 得： $$ \ln|\ln y| = \ln|\csc x - \cot x| + C $$ 即： $$ \ln y = C_1 (\csc x - \cot x) $$ 代入 $x=\frac{\pi}{2}, y=e$： $\ln e = 1 = C_1(1-0) \Rightarrow C_1=1$ 特解： $$ \ln y = \csc x - \cot x $$ 或 $$ y = e^{\csc x - \cot x} $$
---
### (2) 方程：$\sqrt{1-x^2} y' = x$，$y(0)=0$
分离变量： $$ dy = \frac{x}{\sqrt{1-x^2}} dx $$ 积分： $$ y = -\sqrt{1-x^2} + C $$ 代入 $x=0, y=0$：$0 = -1 + C \Rightarrow C=1$ 特解： $$ y = 1 - \sqrt{1-x^2} $$
---
### (3) 方程：$(y+3)dx + \cot x \, dy = 0$，$y(0)=1$
改写： $$ \cot x \, dy = -(y+3) dx \Rightarrow \frac{dy}{y+3} = -\tan x \, dx $$ 积分： $$ \ln|y+3| = \ln|\cos x| + C $$ 即： $$ y+3 = C_1 \cos x $$ 代入 $x=0, y=1$：$4 = C_1$ 特解： $$ y = 4\cos x - 3 $$
---
### (4) 方程：$\cos y \, dx + (1+e^{-x})\sin y \, dy = 0$，$y(0)=\frac{\pi}{4}$
分离变量： $$ \frac{dx}{1+e^{-x}} = -\frac{\sin y}{\cos y} dy $$ 左边乘 $e^x/e^x$： $$ \frac{e^x}{e^x+1} dx = -\tan y \, dy $$ 积分： $$ \ln(e^x+1) = \ln|\cos y| + C $$ 即： $$ e^x+1 = C_1 \cos y $$ 代入 $x=0, y=\frac{\pi}{4}$：$1+1 = C_1 \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} \Rightarrow C_1 = 2\sqrt{2}$ 特解： $$ e^x+1 = 2\sqrt{2} \cos y $$
---
### (5) 方程：$y' = e^{2x-y}$，$y(0)=0$
改写： $$ e^y dy = e^{2x} dx $$ 积分： $$ e^y = \frac{1}{2} e^{2x} + C $$ 代入 $x=0, y=0$：$1 = \frac12 + C \Rightarrow C=\frac12$ 特解： $$ e^y = \frac{e^{2x}+1}{2} $$
---
### (6) 方程：$x y' + y = 3$，$y(1)=0$
改写为： $$ (x y)' = 3 $$ 积分： $$ x y = 3x + C $$ 代入 $x=1, y=0$：$0 = 3 + C \Rightarrow C=-3$ 特解： $$ y = 3 - \frac{3}{x} $$
---
### (7) 方程：$y' = \frac{x^2+y^2}{xy}$，$y(1)=1$
改写： $$ y' = \frac{x}{y} + \frac{y}{x} $$ 令 $u = y/x$，则 $y = ux$，$y' = u + x u'$ 代入： $$ u + x u' = \frac{1}{u} + u \Rightarrow x u' = \frac{1}{u} $$ 分离： $$ u du = \frac{dx}{x} $$ 积分： $$ \frac{u^2}{2} = \ln|x| + C $$ 代入 $x=1, u=1$：$\frac12 = 0 + C \Rightarrow C=\frac12$ 得： $$ \frac{y^2}{2x^2} = \ln|x| + \frac12 $$ 即： $$ y^2 = x^2(2\ln|x|+1) $$
---
### (8) 方程：$\sin x \cos y \, dx = \cos x \sin y \, dy$，$y(0)=\frac{\pi}{4}$
分离： $$ \frac{\sin x}{\cos x} dx = \frac{\sin y}{\cos y} dy $$ 即： $$ \tan x \, dx = \tan y \, dy $$ 积分： $$ -\ln|\cos x| = -\ln|\cos y| + C $$ 即： $$ \cos y = C_1 \cos x $$ 代入 $x=0, y=\frac{\pi}{4}$：$\frac{\sqrt{2}}{2} = C_1$ 特解： $$ \cos y = \frac{\sqrt{2}}{2} \cos x $$
---
### (9) 方程：$y' - y \tan x = \sec x$，$y(0)=0$
一阶线性，积分因子： $$ \mu = e^{-\int \tan x dx} = e^{\ln|\cos x|} = \cos x $$ 乘两边： $$ (\cos x \, y)' = 1 $$ 积分： $$ \cos x \, y = x + C $$ 代入 $x=0, y=0$：$0 = 0 + C \Rightarrow C=0$ 特解： $$ y = \frac{x}{\cos x} $$
---
### (10) 方程：$x y' + y = \sin x$，$y(\frac{\pi}{2})=0$
改写： $$ (x y)' = \sin x $$ 积分： $$ x y = -\cos x + C $$ 代入 $x=\frac{\pi}{2}, y=0$：$0 = 0 + C \Rightarrow C=0$ 特解： $$ y = -\frac{\cos x}{x} $$
---
### (11) 方程：$2x y' = y - x^3$，$y(1)=0$
改写： $$ y' - \frac{1}{2x} y = -\frac{x^2}{2} $$ 积分因子： $$ \mu = e^{-\int \frac{1}{2x} dx} = x^{-1/2} $$ 乘两边： $$ (x^{-1/2} y)' = -\frac12 x^{3/2} $$ 积分： $$ x^{-1/2} y = -\frac12 \cdot \frac{2}{5} x^{5/2} + C = -\frac15 x^{5/2} + C $$ 代入 $x=1, y=0$：$0 = -\frac15 + C \Rightarrow C=\frac15$ 特解： $$ y = \frac{x^{1/2}}{5} (1 - x^{2}) $$
---
### (12) 方程：$x^2 y' + (1-2x)y = x^2$，$y(1)=0$
改写： $$ y' + \frac{1-2x}{x^2} y = 1 $$ 积分因子： $$ \mu = e^{\int \frac{1-2x}{x^2} dx} = e^{\int (x^{-2} - 2/x) dx} = e^{-1/x - 2\ln x} = \frac{e^{-1/x}}{x^2} $$ 乘两边： $$ \left( \frac{e^{-1/x}}{x^2} y \right)' = \frac{e^{-1/x}}{x^2} $$ 积分： $$ \frac{e^{-1/x}}{x^2} y = \int \frac{e^{-1/x}}{x^