📝 题目
7．方程 $\displaystyle{\int}_{0}^{x}\left[2 y(t)+\sqrt{t^{2}+y^{2}(t)}\right] \mathrm{d} t=x y(x)$ 是否为齐次方程？
💡 答案与解析
[AI解答]
[AI解答] 我们首先明确题目中“齐次方程”的含义。在微分方程理论中，如果一个一阶微分方程可以写成 $$ \frac{dy}{dx} = f\left( \frac{y}{x} \right) $$ 的形式，则称为齐次方程。本题给出的形式是积分方程，我们需要先将其转化为微分方程，再判断齐次性。
原方程： $$ \int_{0}^{x} \left[ 2y(t) + \sqrt{t^{2} + y^{2}(t)} \right] \mathrm{d}t = x \, y(x) $$
**第一步：两边对 $x$ 求导** 使用莱布尼茨法则，左边对 $x$ 求导得被积函数在 $t=x$ 处的值： $$ \frac{d}{dx} \int_{0}^{x} F(t, y(t)) \, dt = F(x, y(x)) $$ 因此： $$ 2y(x) + \sqrt{x^{2} + y^{2}(x)} = y(x) + x \, y'(x) $$
**第二步：整理为微分方程** 移项： $$ 2y + \sqrt{x^{2}+y^{2}} - y = x y' $$ 即： $$ y + \sqrt{x^{2}+y^{2}} = x y' $$ 于是： $$ y' = \frac{y + \sqrt{x^{2}+y^{2}}}{x} $$
**第三步：判断齐次性** 将右边写成关于 $\frac{y}{x}$ 的函数： $$ y' = \frac{y}{x} + \frac{\sqrt{x^{2}+y^{2}}}{x} = \frac{y}{x} + \sqrt{1 + \left(\frac{y}{x}\right)^{2}} $$ 令 $u = \frac{y}{x}$，则： $$ y' = u + \sqrt{1+u^{2}} $$ 这正是 $y' = f(u)$ 的形式，因此该方程是齐次方程。
**结论**：是齐次方程。
难度：★★☆☆☆