📝 题目
1．求下列微分方程的通解： （1）$y^{\prime \prime}=\frac{1}{1+x^{2}}$ ； （2）$y^{\prime \prime}=x+\sin x$ ； （3）$y^{\prime \prime \prime}=x \mathrm{e}^{x}$ ； （4）$y^{\prime \prime}=2 x \ln x$ ； （5）$\left(1-x^{2}\right) y^{\prime \prime}-x y^{\prime}=2$ ； （6）$y^{\prime \prime}=y^{\prime}+x$ ； （7）$y^{\prime \prime}=1+\left(y^{\prime}\right)^{2}$ ； （8）$x^{2} y^{\prime \prime}+x y^{\prime}=1$ ．
💡 答案与解析
[AI解答]
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以下为各小题的详细求解过程。
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### （1）$y^{\prime \prime}=\frac{1}{1+x^{2}}$
直接积分一次： $$ y' = \int \frac{1}{1+x^2} \, dx = \arctan x + C_1 $$ 再积分一次： $$ y = \int (\arctan x + C_1) \, dx = x \arctan x - \frac{1}{2}\ln(1+x^2) + C_1 x + C_2 $$ 因此通解为： $$ \boxed{y = x\arctan x - \frac{1}{2}\ln(1+x^2) + C_1 x + C_2} $$
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### （2）$y^{\prime \prime}=x+\sin x$
积分一次： $$ y' = \int (x + \sin x) \, dx = \frac{x^2}{2} - \cos x + C_1 $$ 再积分一次： $$ y = \int \left( \frac{x^2}{2} - \cos x + C_1 \right) dx = \frac{x^3}{6} - \sin x + C_1 x + C_2 $$ 通解： $$ \boxed{y = \frac{x^3}{6} - \sin x + C_1 x + C_2} $$
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### （3）$y^{\prime \prime \prime}=x \mathrm{e}^{x}$
积分一次： $$ y'' = \int x e^x \, dx = (x-1)e^x + C_1 $$ 再积分一次： $$ y' = \int \left[(x-1)e^x + C_1\right] dx = (x-2)e^x + C_1 x + C_2 $$ 再积分一次： $$ y = \int \left[(x-2)e^x + C_1 x + C_2\right] dx = (x-3)e^x + \frac{C_1}{2}x^2 + C_2 x + C_3 $$ 通解： $$ \boxed{y = (x-3)e^x + \frac{C_1}{2}x^2 + C_2 x + C_3} $$
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### （4）$y^{\prime \prime}=2 x \ln x$
积分一次： $$ y' = \int 2x \ln x \, dx = x^2 \ln x - \frac{x^2}{2} + C_1 $$ 再积分一次： $$ y = \int \left( x^2 \ln x - \frac{x^2}{2} + C_1 \right) dx = \frac{x^3}{3}\ln x - \frac{x^3}{9} - \frac{x^3}{6} + C_1 x + C_2 $$ 合并： $$ y = \frac{x^3}{3}\ln x - \frac{5}{18}x^3 + C_1 x + C_2 $$ 通解： $$ \boxed{y = \frac{x^3}{3}\ln x - \frac{5}{18}x^3 + C_1 x + C_2} $$
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### （5）$\left(1-x^{2}\right) y^{\prime \prime}-x y^{\prime}=2$
令 $p = y'$，则 $y'' = p'$，方程化为： $$ (1-x^2)p' - x p = 2 $$ 即： $$ p' - \frac{x}{1-x^2}p = \frac{2}{1-x^2} $$ 这是一阶线性微分方程。积分因子： $$ \mu = e^{\int -\frac{x}{1-x^2}dx} = e^{\frac{1}{2}\ln|1-x^2|} = \sqrt{1-x^2} $$ 乘以积分因子： $$ \frac{d}{dx}\left(p\sqrt{1-x^2}\right) = \frac{2}{\sqrt{1-x^2}} $$ 积分得： $$ p\sqrt{1-x^2} = 2\arcsin x + C_1 $$ 所以： $$ y' = p = \frac{2\arcsin x + C_1}{\sqrt{1-x^2}} $$ 再积分： $$ y = \int \frac{2\arcsin x}{\sqrt{1-x^2}} dx + C_1 \int \frac{dx}{\sqrt{1-x^2}} = (\arcsin x)^2 + C_1 \arcsin x + C_2 $$ 通解： $$ \boxed{y = (\arcsin x)^2 + C_1 \arcsin x + C_2} $$
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### （6）$y^{\prime \prime}=y^{\prime}+x$
令 $p = y'$，则 $p' = p + x$，即： $$ p' - p = x $$ 一阶线性，积分因子 $\mu = e^{-x}$： $$ \frac{d}{dx}(p e^{-x}) = x e^{-x} $$ 积分： $$ p e^{-x} = -x e^{-x} - e^{-x} + C_1 $$ 所以： $$ y' = p = -x - 1 + C_1 e^{x} $$ 再积分： $$ y = -\frac{x^2}{2} - x + C_1 e^{x} + C_2 $$ 通解： $$ \boxed{y = -\frac{x^2}{2} - x + C_1 e^{x} + C_2} $$
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### （7）$y^{\prime \prime}=1+\left(y^{\prime}\right)^{2}$
令 $p = y'$，则 $p' = 1 + p^2$，分离变量： $$ \frac{dp}{1+p^2} = dx $$ 积分： $$ \arctan p = x + C_1 \quad\Rightarrow\quad p = \tan(x + C_1) $$ 即： $$ y' = \tan(x + C_1) $$ 积分： $$ y = \int \tan(x + C_1) dx = -\ln|\cos(x + C_1)| + C_2 $$ 通解： $$ \boxed{y = -\ln|\cos(x + C_1)| + C_2} $$
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### （8）$x^{2} y^{\prime \prime}+x y^{\prime}=1$
令 $p = y'$，则 $x^2 p' + x p = 1$，即： $$ \frac{d}{dx}(x p) = \frac{1}{x} $$ 积分： $$ x p = \ln|x| + C_1 \quad\Rightarrow\quad y' = p = \frac{\ln|x| + C_1}{x} $$ 再积分： $$ y = \int \frac{\ln x}{x} dx + C_1 \int \frac{dx}{x} = \frac{1}{2}(\ln x)^2 + C_1 \ln|x| + C_2 $$ 通解： $$ \boxed{y = \frac{1}{2}(\ln|x|)^2 + C_1 \ln|x| + C_2} $$
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**难度评级**：★★☆☆☆ （均为可降阶或直接积分类型，计算量不大，但需熟悉积分技巧与一阶线性方程解法）