📝 题目
2．求下列微分方程满足初始条件的特解： （1）$y^{\prime \prime}=\left(y^{\prime}\right)^{\frac{1}{2}},\left.y\right|_{x=0}=0,\left.y^{\prime}\right|_{x=0}=1$ ； （2）$\left(1-x^{2}\right) y^{\prime \prime}-x y^{\prime}=3,\left.y\right|_{x=0}=0,\left.y^{\prime}\right|_{x=0}=0$ ； （3）$y^{3} y^{\prime \prime}+1=0,\left.y\right|_{x=1}=1,\left.y^{\prime}\right|_{x=1}=0$ ； （4）$y^{\prime \prime}-a y^{\prime 2}=0,\left.y\right|_{x=0}=0,\left.y^{\prime}\right|_{x=0}=-1$ ； （5）$y^{\prime \prime}=3 \sqrt{y},\left.y\right|_{x=0}=1,\left.y^{\prime}\right|_{x=0}=2$ ； （6）$y y^{\prime \prime}=2\left(y^{\prime 2}-y^{\prime}\right),\left.y\right|_{x=0}=1,\left.y^{\prime}\right|_{x=0}=2$ ．
💡 答案与解析
[AI解答]
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以下是各小题的详细求解过程。
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### （1） $y'' = (y')^{1/2}$，初始条件 $y(0)=0,\ y'(0)=1$。
令 $p = y'$，则 $y'' = p'$，方程化为 $$ p' = p^{1/2} \quad\Rightarrow\quad \frac{dp}{dx} = p^{1/2}. $$ 分离变量： $$ p^{-1/2} dp = dx. $$ 积分得 $$ 2 p^{1/2} = x + C_1. $$ 由 $x=0$ 时 $p=1$ 得 $2 = C_1$，所以 $$ 2\sqrt{p} = x + 2 \quad\Rightarrow\quad \sqrt{p} = \frac{x}{2} + 1. $$ 于是 $$ y' = p = \left( \frac{x}{2} + 1 \right)^2. $$ 再积分： $$ y = \int \left( \frac{x}{2} + 1 \right)^2 dx = \frac{1}{3} \cdot \frac{1}{1/2} \left( \frac{x}{2} + 1 \right)^3 + C_2 = \frac{2}{3} \left( \frac{x}{2} + 1 \right)^3 + C_2. $$ 由 $y(0)=0$ 得 $$ 0 = \frac{2}{3} \cdot 1 + C_2 \quad\Rightarrow\quad C_2 = -\frac{2}{3}. $$ 故特解为 $$ y = \frac{2}{3} \left( \frac{x}{2} + 1 \right)^3 - \frac{2}{3}. $$
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### （2） $(1-x^2) y'' - x y' = 3$，初始条件 $y(0)=0,\ y'(0)=0$。
令 $p = y'$，则 $y'' = p'$，方程化为 $$ (1-x^2) p' - x p = 3. $$ 即 $$ p' - \frac{x}{1-x^2} p = \frac{3}{1-x^2}. $$ 这是一阶线性微分方程。积分因子 $$ \mu = e^{\displaystyle{}-\int \frac{x}{1-x^2} dx} = e^{\frac{1}{2} \ln|1-x^2|} = \sqrt{1-x^2}. $$ 两边乘 $\mu$： $$ \sqrt{1-x^2}\, p' - \frac{x}{\sqrt{1-x^2}} p = \frac{3}{\sqrt{1-x^2}}. $$ 左边为 $(\sqrt{1-x^2}\, p)'$，故 $$ (\sqrt{1-x^2}\, p)' = \frac{3}{\sqrt{1-x^2}}. $$ 积分得 $$ \sqrt{1-x^2}\, p = 3 \arcsin x + C_1. $$ 由 $x=0$ 时 $p=0$ 得 $C_1=0$，所以 $$ p = \frac{3 \arcsin x}{\sqrt{1-x^2}}. $$ 再积分： $$ y = \int \frac{3 \arcsin x}{\sqrt{1-x^2}} dx. $$ 令 $t = \arcsin x$，则 $dt = \frac{dx}{\sqrt{1-x^2}}$，得 $$ y = 3 \int t \, dt = \frac{3}{2} t^2 + C_2 = \frac{3}{2} (\arcsin x)^2 + C_2. $$ 由 $y(0)=0$ 得 $C_2=0$，故特解为 $$ y = \frac{3}{2} (\arcsin x)^2. $$
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### （3） $y^3 y'' + 1 = 0$，初始条件 $y(1)=1,\ y'(1)=0$。
令 $p = y'$，则 $y'' = p \frac{dp}{dy}$，方程化为 $$ y^3 p \frac{dp}{dy} + 1 = 0 \quad\Rightarrow\quad p\, dp = - y^{-3} dy. $$ 积分得 $$ \frac{p^2}{2} = \frac{1}{2} y^{-2} + C_1. $$ 由 $y=1$ 时 $p=0$ 得 $0 = \frac{1}{2} + C_1$，故 $C_1 = -\frac{1}{2}$，于是 $$ p^2 = y^{-2} - 1 = \frac{1 - y^2}{y^2}. $$ 因为 $y'(1)=0$ 且 $y>0$，取正平方根： $$ p = \frac{\sqrt{1 - y^2}}{y}. $$ 分离变量： $$ \frac{y}{\sqrt{1-y^2}} dy = dx. $$ 积分得 $$ -\sqrt{1-y^2} = x + C_2. $$ 由 $x=1$ 时 $y=1$ 得 $0 = 1 + C_2$，故 $C_2 = -1$，所以 $$ -\sqrt{1-y^2} = x - 1 \quad\Rightarrow\quad \sqrt{1-y^2} = 1 - x. $$ 平方得 $$ 1 - y^2 = (1-x)^2 \quad\Rightarrow\quad y^2 = 1 - (1-x)^2 = 2x - x^2. $$ 故特解为 $$ y = \sqrt{2x - x^2}. $$
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### （4） $y'' - a y'^2 = 0$，初始条件 $y(0)=0,\ y'(0)=-1$。
令 $p = y'$，则 $y'' = p'$，方程化为 $$ p' - a p^2 = 0 \quad\Rightarrow\quad \frac{dp}{dx} = a p^2. $$ 分离变量： $$ p^{-2} dp = a\, dx. $$ 积分得 $$ - p^{-1} = a x + C_1. $$ 由 $x=0$ 时 $p=-1$ 得 $-(-1)^{-1} = 1 = C_1$，故 $$ -\frac{1}{p} = a x + 1 \quad\Rightarrow\quad p = -\frac{1}{a x + 1}. $$ 再积分： $$ y = \int -\frac{1}{a x + 1} dx = -\frac{1}{a} \ln|a x + 1| + C_2. $$ 由 $y(0)=0$ 得 $0 = -\frac{1}{a} \ln 1 + C_2$，故 $C_2=0$，特解为 $$ y = -\frac{1}{a} \ln(a x + 1). $$
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### （5） $y'' = 3\sqrt{y}$，初始条件 $y(0)=1,\ y'(0)=2$。
令 $p = y'$，则 $y'' = p \frac{dp}{dy}$，方程化为 $$ p \frac{dp}{dy} = 3 y^{1/2}. $$ 分离变量： $$ p\, dp = 3 y^{1/2} dy. $$ 积分得 $$ \frac{p^2}{2} = 2 y^{3/2} + C_1. $$ 由 $y=1$ 时 $p=2$ 得 $2 = 2 + C_1$，故 $C_1=0$，于是 $$ p^2 = 4 y^{3/2} \quad\Rightarrow\quad p = 2 y^{3/4} \ (\text{取正，因 } y'(0)=2>0). $$ 分离变量： $$ y^{-3/4} dy = 2 dx. $$ 积分得 $$ 4 y^{1/4} = 2x + C_2. $$ 由 $x=0$ 时 $y=1$ 得 $4 = C_2$，故 $$ 4 y^{1/4} = 2x + 4 \quad\Rightarrow\quad y^{1/4} = \frac{x}{2} + 1. $$ 所以特解为 $$ y = \left( \frac{x}{2} + 1 \right)^4. $$
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### （6） $y y'' = 2(y'^2 - y')$，初始条件 $y(0)=1,\