📝 题目
4．试求 $y^{\prime \prime}=x$ 的经过点 $P(0,1)$ 且在此点处与直线 $y=\frac{x}{2}+1$ 相切的积分曲线方程．
💡 答案与解析
[AI解答]
[AI解答] 我们要求解微分方程 $$ y'' = x $$ 满足初始条件：经过点 $P(0,1)$，且在该点与直线 $y = \frac{x}{2} + 1$ 相切。
**第一步：积分一次求一阶导数** 由 $$ y'' = x $$ 两边对 $x$ 积分得 $$ y' = \int x \, dx = \frac{x^2}{2} + C_1 $$ 其中 $C_1$ 为任意常数。
**第二步：利用切线条件确定 $C_1$** 在点 $P(0,1)$ 处，曲线与直线 $y = \frac{x}{2} + 1$ 相切，意味着在该点斜率相等。 直线的斜率为 $\frac{1}{2}$，所以 $$ y'(0) = \frac{1}{2} $$ 代入 $y'$ 表达式： $$ \frac{0^2}{2} + C_1 = \frac{1}{2} \quad\Rightarrow\quad C_1 = \frac{1}{2} $$ 因此 $$ y' = \frac{x^2}{2} + \frac{1}{2} $$
**第三步：再积分一次求原函数** $$ y = \int \left( \frac{x^2}{2} + \frac{1}{2} \right) dx = \frac{x^3}{6} + \frac{x}{2} + C_2 $$
**第四步：利用经过点条件确定 $C_2$** 曲线经过 $(0,1)$，即 $y(0)=1$，代入得 $$ \frac{0^3}{6} + \frac{0}{2} + C_2 = 1 \quad\Rightarrow\quad C_2 = 1 $$
**第五步：写出积分曲线方程** $$ \boxed{y = \frac{x^3}{6} + \frac{x}{2} + 1} $$
难度：★☆☆☆☆