📝 题目
6．求下列微分方程的通解： （1） $4 y^{\prime \prime}+4 y^{\prime}+y=0$ ； （2）$y^{\prime \prime}-4 y^{\prime}+13 y=0$ ； （3）$y^{\prime \prime}-5 y^{\prime}=0$ ； （4）$y^{\prime \prime}-10 y^{\prime}-11 y=0$ ； （5）$y^{\prime \prime}+y^{\prime}=0$ ； （6）$y^{\prime \prime}-3 y^{\prime}+2 y=0$ ； （7）$y^{\prime \prime}-6 y^{\prime}+9 y=0$ ； （8）$y^{\prime \prime}+2 y^{\prime}+y=0$ ； （9）$y^{\prime \prime}-4 y^{\prime}+5 y=0$ ； （10）$y^{(4)}-2 y^{\prime \prime}+y=0$ ； （11）$y^{(4)}+2 y^{\prime \prime}+y=0$ ； （12）$y^{(4)}+3 y^{\prime \prime}-4 y=0$ ．
💡 答案与解析
[AI解答]
[AI解答] 以下为各题求解过程，均使用特征方程法解常系数齐次线性微分方程。
---
### （1） 方程：$4 y'' + 4 y' + y = 0$ 特征方程：$4 r^2 + 4 r + 1 = 0$ 即 $(2r+1)^2 = 0$，解得 $r = -\frac{1}{2}$（二重根） 通解： $$ \displaystyle y(x) = (C_1 + C_2 x) e^{-\frac{1}{2}x} $$
---
### （2） 方程：$y'' - 4 y' + 13 y = 0$ 特征方程：$r^2 - 4r + 13 = 0$ 判别式 $\Delta = 16 - 52 = -36$，解得 $r = 2 \pm 3i$ 通解： $$ \displaystyle y(x) = e^{2x}(C_1 \cos 3x + C_2 \sin 3x) $$
---
### （3） 方程：$y'' - 5 y' = 0$ 特征方程：$r^2 - 5r = 0$，即 $r(r-5)=0$，解得 $r=0,\ 5$ 通解： $$ \displaystyle y(x) = C_1 + C_2 e^{5x} $$
---
### （4） 方程：$y'' - 10 y' - 11 y = 0$ 特征方程：$r^2 - 10r - 11 = 0$ 解得 $r = \frac{10 \pm \sqrt{100+44}}{2} = \frac{10 \pm 12}{2}$，即 $r=11,\ -1$ 通解： $$ \displaystyle y(x) = C_1 e^{11x} + C_2 e^{-x} $$
---
### （5） 方程：$y'' + y' = 0$ 特征方程：$r^2 + r = 0$，即 $r(r+1)=0$，解得 $r=0,\ -1$ 通解： $$ \displaystyle y(x) = C_1 + C_2 e^{-x} $$
---
### （6） 方程：$y'' - 3y' + 2y = 0$ 特征方程：$r^2 - 3r + 2 = 0$，解得 $r=1,\ 2$ 通解： $$ \displaystyle y(x) = C_1 e^{x} + C_2 e^{2x} $$
---
### （7） 方程：$y'' - 6y' + 9y = 0$ 特征方程：$r^2 - 6r + 9 = 0$，即 $(r-3)^2=0$，解得 $r=3$（二重根） 通解： $$ \displaystyle y(x) = (C_1 + C_2 x) e^{3x} $$
---
### （8） 方程：$y'' + 2y' + y = 0$ 特征方程：$r^2 + 2r + 1 = 0$，即 $(r+1)^2=0$，解得 $r=-1$（二重根） 通解： $$ \displaystyle y(x) = (C_1 + C_2 x) e^{-x} $$
---
### （9） 方程：$y'' - 4y' + 5y = 0$ 特征方程：$r^2 - 4r + 5 = 0$ 判别式 $\Delta = 16 - 20 = -4$，解得 $r = 2 \pm i$ 通解： $$ \displaystyle y(x) = e^{2x}(C_1 \cos x + C_2 \sin x) $$
---
### （10） 方程：$y^{(4)} - 2y'' + y = 0$ 特征方程：$r^4 - 2r^2 + 1 = 0$，即 $(r^2 - 1)^2 = 0$ 解得 $r = \pm 1$，均为二重根 通解： $$ \displaystyle y(x) = (C_1 + C_2 x)e^{x} + (C_3 + C_4 x)e^{-x} $$
---
### （11） 方程：$y^{(4)} + 2y'' + y = 0$ 特征方程：$r^4 + 2r^2 + 1 = 0$，即 $(r^2+1)^2 = 0$ 解得 $r = \pm i$，均为二重根 通解： $$ \displaystyle y(x) = (C_1 + C_2 x)\cos x + (C_3 + C_4 x)\sin x $$
---
### （12） 方程：$y^{(4)} + 3y'' - 4y = 0$ 特征方程：$r^4 + 3r^2 - 4 = 0$ 令 $t = r^2$，则 $t^2 + 3t - 4 = 0$，解得 $t = 1$ 或 $t = -4$ 即 $r^2 = 1$ 得 $r = \pm 1$；$r^2 = -4$ 得 $r = \pm 2i$ 通解： $$ \displaystyle y(x) = C_1 e^{x} + C_2 e^{-x} + C_3 \cos 2x + C_4 \sin 2x $$
---
难度评级：★☆☆☆☆ （所有题目均为常系数齐次线性微分方程，仅需写出特征方程并求解，方法统一，计算简单。）