📝 题目
8．已知 $y_{1}=x \mathrm{e}^{x}+\mathrm{e}^{2 x}, y_{2}=x \mathrm{e}^{x}-\mathrm{e}^{-x}, y_{3}=x \mathrm{e}^{x}+\mathrm{e}^{2 x}-\mathrm{e}^{-x}$ 是某二阶非齐次线性微分方程的三个特解： （1）求此方程的通解； （2）写出此微分方程； （3）求此微分方程满足 $y(0)=7, y^{\prime}(0)=6$ 的特解．
💡 答案与解析
[AI解答]
[AI解答] 已知三个特解：
$$ y_1 = x e^{x} + e^{2x},\quad y_2 = x e^{x} - e^{-x},\quad y_3 = x e^{x} + e^{2x} - e^{-x} $$
它们是同一个二阶非齐次线性微分方程的三个特解。
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### （1）求通解
对于非齐次线性微分方程，任意两个特解之差是对应齐次方程的解。
计算：
$$ y_1 - y_2 = (x e^{x} + e^{2x}) - (x e^{x} - e^{-x}) = e^{2x} + e^{-x} $$
$$ y_1 - y_3 = (x e^{x} + e^{2x}) - (x e^{x} + e^{2x} - e^{-x}) = e^{-x} $$
因此齐次方程的两个线性无关解可取为：
$$ e^{-x},\quad e^{2x} $$
所以齐次通解为：
$$ Y = C_1 e^{-x} + C_2 e^{2x} $$
非齐次方程的一个特解可以取 $y_1$，因此原方程的通解为：
$$ \boxed{y = C_1 e^{-x} + C_2 e^{2x} + x e^{x}} $$
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### （2）写出此微分方程
齐次方程的特征根为 $r_1 = -1,\ r_2 = 2$，特征方程为：
$$ (r+1)(r-2) = r^2 - r - 2 = 0 $$
因此齐次方程为：
$$ y'' - y' - 2y = 0 $$
现在求非齐次项。将特解 $y_p = x e^{x}$ 代入方程左端：
计算：
$$ y_p = x e^{x},\quad y_p' = e^{x} + x e^{x} = (x+1)e^{x} $$ $$ y_p'' = e^{x} + (x+1)e^{x} = (x+2)e^{x} $$
代入：
$$ y_p'' - y_p' - 2y_p = (x+2)e^{x} - (x+1)e^{x} - 2x e^{x} $$ $$ = (x+2 - x - 1 - 2x)e^{x} = (1 - 2x)e^{x} $$
所以非齐次项为 $(1 - 2x)e^{x}$，因此微分方程为：
$$ \boxed{y'' - y' - 2y = (1 - 2x)e^{x}} $$
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### （3）求满足初始条件的特解
通解：
$$ y = C_1 e^{-x} + C_2 e^{2x} + x e^{x} $$
初始条件：
$y(0) = C_1 + C_2 = 7$
求导：
$$ y' = -C_1 e^{-x} + 2C_2 e^{2x} + e^{x} + x e^{x} $$ 代入 $x=0$：
$$ y'(0) = -C_1 + 2C_2 + 1 = 6 \quad\Rightarrow\quad -C_1 + 2C_2 = 5 $$
解方程组：
$$ \begin{cases} C_1 + C_2 = 7 \\ -C_1 + 2C_2 = 5 \end{cases} $$
相加得 $3C_2 = 12 \Rightarrow C_2 = 4$，则 $C_1 = 3$。
因此特解为：
$$ \boxed{y = 3 e^{-x} + 4 e^{2x} + x e^{x}} $$
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难度评级：★★★☆☆